Komplexe Zahlen in Gleichungen < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:27 Mi 30.08.2006 | | Autor: | Erkman |
| Aufgabe | Geben sie alle komplexen Zahlen z an, die jeweils die folgenden Gleichungen erfüllen:
i) [mm] z^2(1-i)+2z=0
[/mm]
ii) [mm] z^2+z+iz+i=0
[/mm]
iii) [mm] z^6-1=0 [/mm] |
Wie kann ich diese Gleichungen lösen? Habe da echte Probleme mit und suche nun etwas Hilfe, da ich dies in einer Prüfung wissen muss.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> Geben sie alle komplexen Zahlen z an, die jeweils die
> folgenden Gleichungen erfüllen:
> i) [mm]z^2(1-i)+2z=0[/mm]
> ii) [mm]z^2+z+iz+i=0[/mm]
> iii) [mm]z^6-1=0[/mm]
> Wie kann ich diese Gleichungen lösen? Habe da echte
> Probleme mit und suche nun etwas Hilfe, da ich dies in
> einer Prüfung wissen muss.
Setze doch mal z=a+ib an. Das dürfte doch eigentlich zum Ziel führen, oder?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Mo 04.09.2006 | | Autor: | Erkman |
Soweit bin ich dann letzendlich auch gekommen. Wenn ich das denn einsetze habe ich einen ellenlangen Term, wo man keine Lösung drin sehen kann. Da hapert es dann bei mir wieder.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:52 Mo 04.09.2006 | | Autor: | statler |
> Hallo!
auch von mir
>
> > Geben sie alle komplexen Zahlen z an, die jeweils die
> > folgenden Gleichungen erfüllen:
> > i) [mm]z^2(1-i)+2z=0[/mm]
> > ii) [mm]z^2+z+iz+i=0[/mm]
> > iii) [mm]z^6-1=0[/mm]
> > Wie kann ich diese Gleichungen lösen? Habe da echte
> > Probleme mit und suche nun etwas Hilfe, da ich dies in
> > einer Prüfung wissen muss.
>
> Setze doch mal z=a+ib an. Das dürfte doch eigentlich zum
> Ziel führen, oder?
Bei iii) würde ich eher z = [mm] r*e^{i\phi} [/mm] ansetzen, wenn dir die Form nicht völlig unbekannt ist. Sonst wird es allerdings Gewürge (s. u.).
> Viele Grüße
> Bastiane
+ Dieter
>
>
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 Mo 04.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Erkman
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Du löst die fast auf dieselbe Weise wie im Reellen!
> i) [mm]z^2(1-i)+2z=0[/mm]
[mm]z*((1-i)z+2)=0[/mm] daraus z=0 und z=2/(i-1) das zweite noch mit dem konj. komplexen des Nenners erweitern.
> ii) [mm]z^2+z+iz+i=0[/mm]
pq Formel oder quadratische Ergänzung:
[mm]z^2+z(1+i)+(\bruch{1+i}{2})^2 -(\bruch{1+i}{2})^2+i=0[/mm]
[mm] $(z+\bruch{1+i}{2})^2=\bruch{1+i}{2})-2i/2$
[/mm]
Um Wurzel zu ziehen schreib z als [mm] r*e^{i\alpha} [/mm] dann sind Wurzeln einfach!
> iii) [mm]z^6-1=0[/mm]
[mm] Z=1^{1/6}=\pm e^{2pi/6}; \pm e^{4pi/6}; \pm [/mm] 1
> Wie kann ich diese Gleichungen lösen? Habe da echte
> Probleme mit und suche nun etwas Hilfe, da ich dies in
> einer Prüfung wissen muss.
Mit a+ib gehts auch, da musst du dann Realteil und Imaginärteil einzeln gleichsetzen! ist aber viel länger.
Gruss leduart
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