Komplexe Zahlen bestimmen. < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:34 Di 19.04.2005 | | Autor: | DeusRa |
Hallo,
ich habe jetzt mit FT I angefangen und habe 2 (vermutlich elementare) Fragen zu zwei Aufgaben:
Aufgabe Nr. 1 )
Bestimmen Sie die komplexen Zahlen z=x+iy mit x,y [mm] \in \IR, [/mm] für die gilt:
1.1) [mm] z=\bruch{1}{1+i} [/mm]
1.2) [mm] z=\wurzel{3-4i}
[/mm]
So bei 1.1 würde ich es mit (1-i) multiplizieren, so dass ich auf die Form:
[mm] \bruch{1}{2}-\bruch{1}{2}i \gdw \bruch{1}{2}(1-i).
[/mm]
Aber weiter weiss ich nicht !
Was ist die Lösung davon ?
Bei 1.2. komme ich nicht weiter. Ich würde es quadrieren, aber ich weiss sonst nicht, was es bringen soll.
Aufgabe 2)
Untersuchen Sie folgende Funktionen auf komplexe Differenzierbarkeit:
f(z)=z|z(quer)|²
Ich habe keine Ahnung wie das geht.
Danke schon mal für die Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:24 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber DeusRa
> Aufgabe Nr. 1 )
> Bestimmen Sie die komplexen Zahlen z=x+iy mit x,y [mm]\in \IR,[/mm]
> für die gilt:
> 1.1) [mm]z=\bruch{1}{1+i}[/mm]
> 1.2) [mm]z=\wurzel{3-4i}[/mm]
>
> So bei 1.1 würde ich es mit (1-i) multiplizieren, so dass
Du meinst eher erweitern, oder?
Also Zähler und Nenner mit (1-i) multiplizieren. 
Das ist doch eine sehr gute Idee. Die kannst du immer Anwenden, wenn du im Nenner eine komplexe Zahl hast.
> ich auf die Form:
> [mm]\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2}i \gdw \bruch{1}{2}(1-i).[/mm]
Ja, wunderbar! Nur solltest du hier nichts mehr ausklammern. Gefordert ist ja die Form x+iy.
[mm] $\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2}i$ [/mm]
ist ja eine solche Form (mit x = 1/2 und y = -1/2)
> Aber
> weiter weiss ich nicht !
> Was ist die Lösung davon ?
>
Das ist schon die Lösung!
> Bei 1.2. komme ich nicht weiter. Ich würde es quadrieren,
> aber ich weiss sonst nicht, was es bringen soll.
>
Hier gebe ich dir nur mal einen Tipp:
Es muss doch gelten:
[mm] $z^2=3-4i$
[/mm]
Mit $z=x+iy$ heisst das doch:
[mm] $(x+iy)^2=3-4i$
[/mm]
Ausmultipliziert:
[mm] $x^2-y^2+2xyi=3-4i$
[/mm]
Zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn sie sowohl im Realteil als auch im Imaginärteil übereinstimmen. Das führt sofort zum Gleichungssystem:
[mm] $x^2-y^2=3$
[/mm]
$2xy=-4$
Dieses Gleichunssystem musst du auflösen. Dabei ist zu beachten, dass als Lösung für x und y nur reelle Zahlen genommen werden dürfen! Das sollte dann 2 Lösungen geben!
> Aufgabe 2)
> Untersuchen Sie folgende Funktionen auf komplexe
> Differenzierbarkeit:
> f(z)=z|z(quer)|²
> Ich habe keine Ahnung wie das geht.
>
Da müsstest du die Theorie nochmals konsultieren!
Es gibt ja den Satz, dass eine (komplexe) Funktion in einem Gebiet genau dann differenzierbar ist, wenn für $f(x+iy)=u+iv$ gilt:
[mm] $\bruch{\partial u}{\partial x}=\bruch{\partial v}{\partial y}$ [/mm] und
[mm] $\bruch{\partial u}{\partial y}=-\bruch{\partial v}{\partial x}$
[/mm]
(Das ist das System der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen. 
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Mi 20.04.2005 | | Autor: | DeusRa |
zu 1.2)
Ich habe jetzt folgende Lösung für [mm] z=\wurzel{3-4i}. [/mm] x=-2, und y=1.
(i) $x²-y²=3$
(ii) $2xy=-4$ [mm] \Rightarrow xy=-2\Rightarrow x=\bruch{-2}{y}
[/mm]
einsetzen von x in (i) [mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \bruch{4}{y²}-y²\Rightarrow [/mm] mit y² [mm] ergaenzen\Rightarrow [/mm] 4-y4=3y² [mm] \Rightarrow
[/mm]
4=3y²+y4 [mm] \gdw
[/mm]
4=y²(3+y²)
Daraus ist erkennbar, dass y=1 oder y=-1 sein muss.
Annahme [mm] y=1\Rightarrow [/mm] einsetzen in (ii): $2x=-4$ [mm] \gdw [/mm] $x= -2$.
Annahme [mm] y=-1\Rightarrow [/mm] einsetzen in (ii): $-2x=-4$ [mm] \gdw [/mm] $x= 2$.
Daraus folgt, dass $x=-2$ und $y=1$ oder $x=2$ und $y=-1$.
Stimmt das soweit ???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:37 Mi 20.04.2005 | | Autor: | DeusRa |
Wollte mich bedanken.
Dieses Forum ist echt klasse.
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