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| Aufgabe | | Gesucht sind die komplexen Zahlen [m]z_1,z_2,z_3[/m] mit [m]|z_1|=|z_2|=|z_3|=1[/m] sowie [m]z_1+z_2+z_3=z_1z_2z_3=1[/m]. |
Schönen Tag zusammen!
Vorweg:Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:![[]](/images/popup.gif) http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=409624 (Gestern abend)
Dann leg ich mal los...
Dass mit [m]i,-1,1[/m] ein Erfolg erzielt werden kann, war mir bald klar. Aber wie finde ich die Menge aller Lösungen? Nach weiterem Ringen habe ich Folgendes zusammengeschustert:
Mit [m]z_1+z_2+z_3=1[/m] und [m]|z_1|=|z_2|=|z_3|=1[/m] folgt [m]\bar z_1+\bar z_2+\bar z_3=1[/m]. Zudem gilt allgemein: [m]|z|=1\Rightarrow \bar z=\bruch{1}{z}[/m]. Somit habe ich dann [m]1=\bar z_1+\bar z_2+\bar z_3=\bruch{1}{z_1}+\bruch{1}{z_2}+\bruch{1}{z_3}=\bruch{z_2z_3+z_1z_3+z_1z_2}{z_1z_2z_3}[/m] und da [m]z_1z_2z_3=1[/m] folgt [m]z_2z_3+z_1z_3+z_1z_2=1[/m]. Insofern hätte ich nun ein ausreichend bestimmtes Gleichungssystem zur Verfügung:
(1) [m]z_1+z_2+z_3=1[/m]
(2) [m]z_1z_2z_3=1[/m]
(3) [m]z_2z_3+z_1z_3+z_1z_2=1[/m].
Problem: Ich kenne keine Methode um es zu lösen. Hat da jemand eine parat? Damit ich weiß, in welche Richtung ich meine Aufmerksamkeit richten muss.
Dank und Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:35 Mi 27.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Gesucht sind die komplexen Zahlen [m]z_1,z_2,z_3[/m] mit
> [m]|z_1|=|z_2|=|z_3|=1[/m] sowie [m]z_1+z_2+z_3=z_1z_2z_3=1[/m].
> Schönen Tag zusammen!
>
> Vorweg:Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf
> anderen Internetseiten
> gestellt:http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=409624
> (Gestern abend)
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> Dann leg ich mal los...
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> Dass mit [m]i,-1,1[/m] ein Erfolg erzielt werden kann, war mir
> bald klar.
Mir aber nicht ! Die obigen Zahlen erfüllen $ [mm] z_1+z_2+z_3=z_1z_2z_3=1 [/mm] $ aber nicht.
> Aber wie finde ich die Menge aller Lösungen?
> Nach weiterem Ringen habe ich Folgendes
> zusammengeschustert:
>
> Mit [m]z_1+z_2+z_3=1[/m] und [m]|z_1|=|z_2|=|z_3|=1[/m] folgt [m]\bar z_1+\bar z_2+\bar z_3=1[/m].
> Zudem gilt allgemein: [m]|z|=1\Rightarrow \bar z=\bruch{1}{z}[/m].
> Somit habe ich dann [m]1=\bar z_1+\bar z_2+\bar z_3=\bruch{1}{z_1}+\bruch{1}{z_2}+\bruch{1}{z_3}=\bruch{z_2z_3+z_1z_3+z_1z_2}{z_1z_2z_3}[/m]
> und da [m]z_1z_2z_3=1[/m] folgt [m]z_2z_3+z_1z_3+z_1z_2=1[/m]. Insofern
> hätte ich nun ein ausreichend bestimmtes Gleichungssystem
> zur Verfügung:
> (1) [m]z_1+z_2+z_3=1[/m]
> (2) [m]z_1z_2z_3=1[/m]
> (3) [m]z_2z_3+z_1z_3+z_1z_2=1[/m].
>
> Problem: Ich kenne keine Methode um es zu lösen. Hat da
> jemand eine parat? Damit ich weiß, in welche Richtung ich
> meine Aufmerksamkeit richten muss.
Tipp: da [mm] $|z_j| [/mm] =1 $ für j=1,2,3, gibt es [mm] t_1,t_2,t_3 \in [/mm] [0, 2 [mm] \pi] [/mm] mit [mm] z_j= e^{it_j} [/mm] ( j=1,2,3)
Dann ist wegen [mm] z_1z_2z_3=1: [/mm] $ [mm] e^{i(t_1+t_2+t_3)}=1$, [/mm] also ex. ein n [mm] \in \IN_0 [/mm] mit
[mm] $t_1+t_2+t_3 [/mm] = 2n [mm] \pi$
[/mm]
Hilft das ?
FRED
>
> Dank und Gruß
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Hui, geht ja schnell hier.
1.Die korrekten Zahlen lauten natürlich [m]i,-i,1[/m]; Typomania.
2.Deinem Tipp werde ich später in Ruhe nachgehen; so auf den ersten Blick springt mich die Lösung noch nicht an. Ich werde schauen, wie weit ich hier mit meinen rudimentären Kenntnissen komme und dann entspr. Feedback geben!
Bis dahin...Dank und Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:16 Mi 27.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hui, geht ja schnell hier.
...........gell ............
> 1.Die korrekten Zahlen lauten natürlich [m]i,-i,1[/m];
das passt
> Typomania.
> 2.Deinem Tipp werde ich später in Ruhe nachgehen; so auf
> den ersten Blick springt mich die Lösung noch nicht an.
> Ich werde schauen, wie weit ich hier mit meinen
> rudimentären Kenntnissen komme und dann entspr. Feedback
> geben!
>
> Bis dahin...Dank und Gruß
FRED
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Morgen!
So, nun mein bisheriges Ergebnis:
Es ist [m]z_1+z_2+z_3=cos\ t_1+cos\ t_2+cos\ t_3+i(sin\ t_1+sin\ t_2+sin\ t_3)[/m] woraus folgt [m]cos\ t_1+cos\ t_2+cos\ t_3=1[/m] und
[m]sin\ t_1+sin\ t_2+sin\ t_3)=0[/m] (allg. [m]a+ib=1\Rightarrow a=1\ u.\ b=0[/m]).
Mit deiner Vorgabe folgt die Möglichkeit [m]t_1+t_2+t_3=0[/m], also [m]t_3=-(t_1+t_2)[/m]. Die Kosinusfunktion ist
gerade,die Sinusfunktion hingegen ungerade. Somit:
[m]cos\ t_1+cos\ t_2+cos\ (-(t_1+t_2))=cos\ t_1+cos\ t_2+cos\ (t_1+t_2)=1\ \Rightarrow cos\ t_1+cos\ t_2=1-cos\ (t_1+t_2)[/m] (1)
[m]sin\ t_1+sin\ t_2+sin\ (-(t_1+t_2))=sin\ t_1+sin\ t_2-sin\ (t_1+t_2)=0\ \Rightarrow sin\ t_1+sin\ t_2=sin\ (t_1+t_2)[/m] (2)
Quadrieren und anschließendes Addieren von (1) und (2) führt unter Verwendung des
"trigonometrischen Pythagoras" und des Additiontheorems [m]cos(t_1+t_2)=cos\ t_1 \cdot cos\ t_2-sin\ t_1\cdot sin\t_2[/m] auf
[m]cos\ t_1\cdot cos\ t_2=0[/m]. Die Gleichung ist erfüllt, wenn [m]t_1=\pm \pi/2\ od.\ t_2=\pm \pi/2[/m]. Es reicht [m][mm] t_1=\pm \pi/2[/] [/mm] zu
untersuchen (die Fälle sind ja gleich gelagert).
[m]t_1=+\pi/2[/m]: Eine mögliche Lösung kennt man bereits durch Probieren; sei also [m]z_1=i[/m].
[m]z_1+z_2+z_3=1\Rightarrow z_2+z_3=1-i[/m] und [m]z_1z_2z_3=1\Rightarrow z_2z_3=1/i=-i[/m]. Die beiden letzten Gleichungen liefern die
Lösungspaare [m](1,-i)\ u.\ (-i,1)[/m] und letztlich die Tripel [m](i,1,-i)\ u.\ (i,-i,1)[/m]. Analog führt [m]t_2=-\pi/2[/m] auf [m](1,i)\ u.\ (i,1)[/m]
(mit [m]z_1=-i[/m]) bzw. auf [m](-i,1,i)\ u.\ (-i,i,1)[/m]. Mit [m](1,i,-i)\ u.\ (1,-i,i)[/m] sind dann insgesamt sechs Lösungstripel
vorhanden. Fragen: So weit so gut? Was kann/muss verbessert werden?
Ein "Danke!" schonmal vorausgeschickt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Sa 06.02.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Ich finde deine Idee mit den drei Gleichungen (1),(2),(3) gut. Jetzt betrachte das Polynom
[mm]f(w) = \left( w - z_1 \right) \left( w - z_2 \right) \left( w - z_3 \right)[/mm]
Es hat die drei Nullstellen [mm]z_1,z_2,z_3[/mm]. Durch Ausmultiplizieren erhält man
[mm]f(w) = w^3 - \left( z_1 + z_2 + z_3 \right) w^2 + \left( z_1 z_2 + z_1 z _3 + z_2 z_3 \right) w - z_1 z_2 z_3[/mm]
Jetzt verwende (1),(2),(3) und bestimme die Nullstellen von [mm]f[/mm].
Thema: elementarsymmetrische Funktionen
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Hi!
Danke für deine Antwort. Ich werde mir diese "elementarsymm. Funktionen" mal anschauen und wenn ich damit klar komme, mich wieder melden.
Gruß
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