Komplexe Zahlen Körper Unterkö < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:09 Mi 12.12.2007 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Es sei C der Körper der komplexen Zahlen, und es sei i [mm] \in [/mm] C mit [mm] i^2= [/mm] -1,
a) Ist {a +b(i-1) | a,b [mm] \in [/mm] Q} ein Unterkörper von C ?
b) Kann Z/23Z als Unterkörper von C aufgefasst werden, d.h. gibt es einen injektiven Ringhomomorphismus von Z/23Z nach C ?
c) Ist {a [mm] +b*\wurzel{3} [/mm] | a,b [mm] \in [/mm] Q} ein Unterkörper von C ?
d) Ist {a -bi) | a,b [mm] \in [/mm] Z} ein Unterkörper von C ?
e) Ist Z/4Z ein Körper ?
f) Ist {a [mm] +b*\wurzel{3} [/mm] | a,b [mm] \in [/mm] Z} ein Unterkörper von C ?
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Moin!
auch diese aufgabe habe ich nicht ganz verstanden.
Meine Ideen dazu sind:
a) + d) sind ja beides komplexe Zahlen, würde also sagen, dass hier ein Unterkörper von C vorliegt.
b) ein injektiver Ringhomomorphismus bedeutet, dass jede Zahl z ein "einmaliger" Wert in C zugeordnet wird. Das ist nicht der Fall, da z.b.
23 -> 1 und 24 -> 1 abgebildet wird. Oder nicht?
c) ja. Die komplexen Zahlen beinhalten ja auch die Zahenkörper R, Q... oder nicht?
e) Z/4Z ist ein Restklassenkörper, denke ich. Daher wird es wohl ein Körper sein...
f) dass hier a,b "nur" aus Z kommen spielt keine Rolle -> Unterkörper von C.
Was sagt ihr dazu?
Danke für eure Hilfe!
Gruß
wolfgang
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:23 Mi 12.12.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> a) + d) sind ja beides komplexe Zahlen, würde also sagen,
> dass hier ein Unterkörper von C vorliegt.
nein das reicht nicht, es steht ja nicht teilmenge von [mm] $\mathbb{C}$ [/mm] da, sondern unterkörper. schau nach, welche eigenschaften für unterkörper erfüllt sein müssen und überprüfe diese für die mengen.
> b) ein injektiver Ringhomomorphismus bedeutet, dass jede
> Zahl z ein "einmaliger" Wert in C zugeordnet wird. Das ist
> nicht der Fall, da z.b.
> 23 -> 1 und 24 -> 1 abgebildet wird. Oder nicht?
warum muss der ringhomomorphismus so aussehen? nimm an, du hättest solch einen ringhomomorphismus und die restklasse von $1$ wird auf ein $z [mm] \in \mathbb{C} \setminus \{0\}$ [/mm] abgebildet. was muss dann für [mm] $\underbrace{z + ... +z}_{23-\textrm{mal}}$ [/mm] gelten? gibt es solch ein $z$?
> c) ja. Die komplexen Zahlen beinhalten ja auch die
> Zahenkörper R, Q... oder nicht?
siehe oben bei a) + d). was ist denn bei d) das multiplikativ inverse von $2$?
> e) Z/4Z ist ein Restklassenkörper, denke ich. Daher wird es
> wohl ein Körper sein...
was ist denn das multiplikativ inverse der restklasse von $2$?
> f) dass hier a,b "nur" aus Z kommen spielt keine Rolle ->
> Unterkörper von C.
siehe oben bei a) + d).
schlag wie gesagt, die unterkörperaxiome nach und probiere es dann nochmal.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:14 Fr 14.12.2007 | | Autor: | hase-hh |
Moin!
zu Aufgabe a) habe ich mir ein paar Gedanken gemacht, komme aber nicht weiter.
Ich soll entscheiden, ob es sich bei dem gegebenen Term um einen Unterkörper von C handelt oder nicht.
{a +b(i-1) | a, b [mm] \in [/mm] Q}
Ok, die Unterkörperaxiome, die ich gefunden haben lauten:
1. Das Null-Element bezgl. der Addition muss im Unterkörper enthalten sein
2. Das Eins-Element der Substitution muss im Unterkörper enthalten sein
3. Die Vielfachen von zwei Elementen müssen im Unterkörper enthalten sein
4. Verkettungen zweier Elemente müssen im Unterkörper enthalten sein
5. jedes Element [mm] \ne [/mm] 0 muss invertierbar sein; jedes Negative eines Elementes muss im Unterkörper enthalten sein.
also, fange ich mal an:
1. a+ b(i-1) = 0 erfüllt, wenn a=0 und b=0
(reicht das?)
2. Eins-Element der Substitution
Was ist das? Keine Ahnung!
3. Vielfache von zwei Elementen
ich wähle als erstes Element 1 d.h. a=1 und b=0
1+ 0(i-1) = 1
1*c = c
ich wähle als zweites Element i-1 d.h. a=0 und b=1
0 + 1(i-1) = i -1
(i-1)*c = (i-1)*c
(reicht das ?)
4. Verkettungen von zwei Elementen
Addition: ich addiere wieder die beiden Elemente
1 + 0(i-1) + 0 + 1(i-1) = i dies würde dem element mit a=1 u. b=1
entsprechen d.h. 1 + 1*(i-1) = i
Multiplikation: ich multipliziere wieder die beiden Elemente
(1+ 0(i-1)) * (0 + 1(i-1)) = i-1 dies würde dem element mit a=0 und b=1
entsprechen
(reicht das?)
5. Inverse
Addition: (1+ 0(i-1)) + (-1 + 0(i-1)) =0 das Inverse Element wäre hier (-1)
(a + b(i-1)) + (c + d(i-1)) =0
a+c +(b+d)*(i-1) =0 ist Element der betrachteten Menge.
Multiplikation:
(a + b(i-1)) * (c + d(i-1)) = 1
ac + ad(i-1) + bc(i-1) + [mm] bd(i-1)^2 [/mm] =1
ac +adi -ad +bci -bc [mm] +bd(i^2 [/mm] -2 +1) =1
ac -ad -bc +adi +bci +bd(-1 -2 +1) =1
ac -ad -bc +adi +bci -2bd =1
ac -2bd + (adi -ad +bci -bc) = 1
ac -2bd + ad(i-1) +bc(i-1) = 1
ac -2bd + (ad +bc)(i-1) = 1 und das ist wieder Element der betrachteten Menge.
(reicht das?)
Vielen Dank für eure Hilfe!
(würde ja im Prinzip für a,b [mm] \in [/mm] Z genauso funtkionieren, da ich überall ganze Zahlen erhalte)
Gruß
wolfgang
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:34 Sa 15.12.2007 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
> Moin!
>
> zu Aufgabe a) habe ich mir ein paar Gedanken gemacht, komme
> aber nicht weiter.
>
> Ich soll entscheiden, ob es sich bei dem gegebenen Term um
> einen Unterkörper von C handelt oder nicht.
>
> {a +b(i-1) | a, b [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Q}
>
>
> Ok, die Unterkörperaxiome, die ich gefunden haben lauten:
>
> 1. Das Null-Element bezgl. der Addition muss im Unterkörper
> enthalten sein
> 2. Das Eins-Element der Substitution muss im Unterkörper
> enthalten sein
nicht der Substitution, sondern der Multiplikation.
> 3. Die Vielfachen von zwei Elementen müssen im Unterkörper
> enthalten sein
> 4. Verkettungen zweier Elemente müssen im Unterkörper
> enthalten sein
> 5. jedes Element [mm]\ne[/mm] 0 muss invertierbar sein; jedes
> Negative eines Elementes muss im Unterkörper enthalten
> sein.
>
> also, fange ich mal an:
>
> 1. a+ b(i-1) = 0 erfüllt, wenn a=0 und b=0
>
> (reicht das?)
>
> 2. Eins-Element der Substitution
>
> Was ist das? Keine Ahnung!
siehe oben
> 3. Vielfache von zwei Elementen
da kannst du nicht wählen, sondern musst es allgemein machen.
es könnte ja für dieses Element richtig sein, für andere aber falsch!
hast du unten unter Inverses gemacht wenn du nicht =1 schreibst!
>
> ich wähle als erstes Element 1 d.h. a=1 und b=0
>
> 1+ 0(i-1) = 1
>
> 1*c = c
>
> ich wähle als zweites Element i-1 d.h. a=0 und b=1
>
> 0 + 1(i-1) = i -1
>
> (i-1)*c = (i-1)*c
>
> (reicht das ?)
>
> 4. Verkettungen von zwei Elementen
>
> Addition: ich addiere wieder die beiden Elemente
Siehe oben!
>
> 1 + 0(i-1) + 0 + 1(i-1) = i dies würde dem element
> mit a=1 u. b=1
>
> entsprechen d.h. 1 + 1*(i-1) = i
>
> Multiplikation: ich multipliziere wieder die beiden
> Elemente
>
> (1+ 0(i-1)) * (0 + 1(i-1)) = i-1 dies würde dem element
> mit a=0 und b=1
>
> entsprechen
>
> (reicht das?)
Nein!
> 5. Inverse
>
> Addition: (1+ 0(i-1)) + (-1 + 0(i-1)) =0 das Inverse
> Element wäre hier (-1)
>
> (a + b(i-1)) + (c + d(i-1)) =0
>
> a+c +(b+d)*(i-1) =0 ist Element der betrachteten Menge.
so ist es falsch! du musst ein c+d(i-1) angeben, das a+b(i-1) zu 0 macht!
>
> Multiplikation:
>
> (a + b(i-1)) * (c + d(i-1)) = 1
>
> ac + ad(i-1) + bc(i-1) + [mm]bd(i-1)^2[/mm] =1
>
> ac +adi -ad +bci -bc [mm]+bd(i^2[/mm] -2 +1) =1
>
> ac -ad -bc +adi +bci +bd(-1 -2 +1) =1
>
> ac -ad -bc +adi +bci -2bd =1
>
> ac -2bd + (adi -ad +bci -bc) = 1
>
> ac -2bd + ad(i-1) +bc(i-1) = 1
>
> ac -2bd + (ad +bc)(i-1) = 1 und das ist wieder Element
> der betrachteten Menge.
>
> (reicht das?)
Wie oben, du musst c,d angeben, so dass das 1 ist!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:52 Sa 15.12.2007 | | Autor: | hase-hh |
> Hallo
Moin!
zu Aufgabe a) habe ich mir ein paar Gedanken gemacht, komme aber nicht weiter.
a + b(i-1) mit a,b [mm] \in [/mm] Q
die Unterkörperaxiome lauten also:
1. Das Null-Element bezgl. der Addition muss im Unterkörper enthalten sein
2. Das Eins-Element der Multiplikation muss im Unterkörper enthalten sein
3. Die Vielfachen von zwei Elementen müssen im Unterkörper enthalten sein
4. Verkettungen zweier Elemente müssen im Unterkörper enthalten sein
5. jedes Element [mm]\ne[/mm] 0 muss invertierbar sein; jedes Negative eines Elementes muss im Unterkörper enthalten sein.
also, fange ich mal an:
1. a+ b(i-1) = 0 erfüllt, wenn a=0 und b=0
das ist also ok??? wenn nicht, wie dann?
Eins-Element der Multiplikation
2. a+ b(i-1) = 1 erfüllt, wenn a=1 und b=0
ok? wenn nicht, wie dann?
3. Vielfache von zwei Elementen
also allgemein:
(a + b(i-1)) * (c + d(i-1)) = ac +ad(i-1) + bc(i-1) + [mm] bd(i-1)^2
[/mm]
ac +ad(i-1) + bc(i-1) + [mm] bd(i^2 [/mm] -2 +1)
ac +ad(i-1) + bc(i-1) + bd(-1 -2 +1)
ac +ad(i-1) + bc(i-1) -2bd
ac -2bd + (ad +bc)*(i-1)
reicht das?
c1 = ac-2bd
d1 = ad +bc
wenn nicht, wie dann?
4. Verkettungen von zwei Elementen
also allgemein:
Addition
a+ b(i-1) + c + d(i-1) = a+c + (b+d)*(i-1)
c1 = a+c
d1 = b+d
Multiplikation:
habe ich das nicht gerade unter 3. gemacht???
5. Inverse
(a + b(i-1)) + (c + d(i-1)) =0
a+c +(b+d)*(i-1) =0
c = -a
d = -b
so richtig?
Multiplikation:
(a + b(i-1)) * (c + d(i-1)) = 1
ac + ad(i-1) + bc(i-1) + [mm]bd(i-1)^2[/mm] =1
ac +adi -ad +bci -bc [mm]+bd(i^2[/mm] -2 +1) =1
ac -ad -bc +adi +bci +bd(-1 -2 +1) =1
ac -ad -bc +adi +bci -2bd =1
ac -2bd + (adi -ad +bci -bc) = 1
ac -2bd + ad(i-1) +bc(i-1) = 1
ac -2bd + (ad +bc)(i-1) = 1
ac - 2bd = 1
ad +bc = 0
hier komme ich nicht weiter!
???
gruß
wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:59 Mo 17.12.2007 | | Autor: | hase-hh |
weiter aktuell!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 Mo 17.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo wolfgang
> zu Aufgabe a) habe ich mir ein paar Gedanken gemacht, komme
> aber nicht weiter.
>
> a + b(i-1) mit a,b [mm]\in[/mm] Q
>
> die Unterkörperaxiome lauten also:
>
> 1. Das Null-Element bezgl. der Addition muss im Unterkörper
> enthalten sein
> 2. Das Eins-Element der Multiplikation muss im Unterkörper
> enthalten sein
> 3. Die Vielfachen von zwei Elementen müssen im Unterkörper
> enthalten sein
> 4. Verkettungen zweier Elemente müssen im Unterkörper
> enthalten sein
> 5. jedes Element [mm]\ne[/mm] 0 muss invertierbar sein; jedes
> Negative eines Elementes muss im Unterkörper enthalten
> sein.
>
> also, fange ich mal an:
>
> 1. a+ b(i-1) = 0 erfüllt, wenn a=0 und b=0
>
> das ist also ok??? wenn nicht, wie dann?
o.k.
> Eins-Element der Multiplikation
> 2. a+ b(i-1) = 1 erfüllt, wenn a=1 und b=0
>
> ok? wenn nicht, wie dann?
O.k.
>
> 3. Vielfache von zwei Elementen
>
> also allgemein:
> (a + b(i-1)) * (c + d(i-1)) = ac +ad(i-1) + bc(i-1) +
> [mm]bd(i-1)^2[/mm]
>
> ac +ad(i-1) + bc(i-1) + [mm]bd(i^2[/mm] -2 +1)
[mm] falsch!(i-1)^2=i^2-2i+1
[/mm]
dadurch Rest falsch!
> ac +ad(i-1) + bc(i-1) + bd(-1 -2 +1)
>
> ac +ad(i-1) + bc(i-1) -2bd
>
> ac -2bd + (ad +bc)*(i-1)
>
> reicht das?
>
> c1 = ac-2bd
> d1 = ad +bc
>
> wenn nicht, wie dann?
siehe oben
> 4. Verkettungen von zwei Elementen
>
> also allgemein:
>
> Addition
> a+ b(i-1) + c + d(i-1) = a+c + (b+d)*(i-1)
>
> c1 = a+c
> d1 = b+d
>
> Multiplikation:
> habe ich das nicht gerade unter 3. gemacht???
Ja!
> 5. Inverse
>
> (a + b(i-1)) + (c + d(i-1)) =0
>
> a+c +(b+d)*(i-1) =0
>
> c = -a
> d = -b
>
> so richtig?
Ja , schreiben das additive Inverse ist -a-b(i-1) liegt im K
> Multiplikation:
>
> (a + b(i-1)) * (c + d(i-1)) = 1
>
> ac + ad(i-1) + bc(i-1) + [mm]bd(i-1)^2[/mm] =1
>
> ac +adi -ad +bci -bc [mm]+bd(i^2[/mm] -2 +1) =1
Fehler wie oben!
> ac - 2bd = 1
>
> ad +bc = 0
>
> hier komme ich nicht weiter!
falls das richtig wäre hast du
2 Gleichungen mit 2 Unbekannten, nach c und d auflösen!
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:22 Di 18.12.2007 | | Autor: | hase-hh |
zunächst: vielen Dank, Leduart!
ok, ich habe jetzt...
3. Vielfache von zwei Elementen
also allgemein:
(a + b(i-1)) * (c + d(i-1)) = ac +ad(i-1) + bc(i-1) + [mm] bd(i-1)^2 [/mm]
ac +ad(i-1) + bc(i-1) + [mm] bd(i^2 [/mm] -2i +1)
ac +ad(i-1) + bc(i-1) -bd -2bdi +bd
ac +ad(i-1) + bc(i-1) -2bdi
ac -2bdi + (ad +bc)*(i-1)
c1 = ac-2bdi
d1 = ad +bc
d.h. hier ist c1 [mm] \not\in [/mm] Q also ist hier das Vielfache von zwei Elementen nicht in der betrachteten Menge. Oder nicht?
4. Verkettungen von zwei Elementen
also allgemein:
> Addition
> a+ b(i-1) + c + d(i-1) = a+c + (b+d)*(i-1)
>
> c1 = a+c
> d1 = b+d
>
> Multiplikation:
> habe ich das nicht gerade unter 3. gemacht???
> Ja!
Also brauche ich nur die Verkettung bezgl. Der Addition zu untersuchen???
> 5. Inverse
>
> (a + b(i-1)) + (c + d(i-1)) =0
>
> a+c +(b+d)*(i-1) =0
>
> c = -a
> d = -b
>
> so richtig?
>
> Ja , schreiben das additive Inverse ist -a-b(i-1) liegt im K
>
Multiplikation:
(a + b(i-1)) * (c + d(i-1)) = 1
ac + ad(i-1) + bc(i-1) + [mm] bd(i-1)^2 [/mm] =1
ac +adi -ad +bci -bc [mm] +bd(i^2 [/mm] -2i +1) =1
ac +adi -ad +bci -bc -bd -2bdi +bd =1
ac -2bdi + (ad + bc)(i-1) =1
und wie geht es weiter???
gruß
wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:27 Do 20.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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