Komplexe Zahlen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:24 Di 14.09.2010 | | Autor: | ATDT |
| Aufgabe | | Für welche komplexen Zahlen z [mm] \in \IC [/mm] gilt [mm] z\overline{z} [/mm] = [mm] z^2 [/mm] + 2 |
Liebe Helfer,
ich brauche mal wieder eure Unterstützung.
Zunächst einmal ist z und [mm] \overline{z} [/mm] so definiert:
z = a + bi und
[mm] \overline{z} [/mm] = a - bi
Und nach den Regeln der komplexen Zahlen ist:
i*i = -1
ich habe versucht das mal zu zerlegen und für die z's (a + bi) bzw. [mm] \overline{z}'s [/mm] (a - bi) einzufügen.
[mm] z^2 [/mm] = (a + bi) * (a + bi) = [mm] a^2 [/mm] + abi + abi - b
= [mm] a^2 [/mm] + 2abi - b
und [mm] z\overline{z} [/mm] = (a + bi) * (a -bi) = [mm] a^2 [/mm] - abi + abi + b
= [mm] a^2 [/mm] + b
[mm] z\overline{z} [/mm] = [mm] z^2 [/mm] + 2 [mm] |-z^2
[/mm]
[mm] -z^2 [/mm] + [mm] z\overline{z} [/mm] = 2
Also:
[mm] -(a^2 [/mm] + 2abi - b) + [mm] a^2 [/mm] + b = 2
= [mm] -a^2 [/mm] - 2abi + b + [mm] a^2 [/mm] = 2
-2abi + 2b = 2 |:2
-abi + b = 1
das ist aber noch nicht die Lösung oder?
Wie würdet Ihr das machen?
LG ATDT
|
|
| |
|
Hallo, dir sind beim Auflösen der Klammern zwei Fehler unterlaufen
(1) bei [mm] z^{2} [/mm] steht als letzter Summand [mm] b^{2}*i^{2}=-b^{2}
[/mm]
(2) bei [mm] z\overline{z} [/mm] steht als letzter Summand [mm] -b^{2}*i^{2}=b^{2}
[/mm]
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:57 Di 14.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Für welche komplexen Zahlen z [mm]\in \IC[/mm] gilt [mm]z\overline{z}[/mm] =
> [mm]z^2[/mm] + 2
> Liebe Helfer,
>
> ich brauche mal wieder eure Unterstützung.
>
> Zunächst einmal ist z und [mm]\overline{z}[/mm] so definiert:
> z = a + bi und
> [mm]\overline{z}[/mm] = a - bi
> Und nach den Regeln der komplexen Zahlen ist:
> i*i = -1
>
> ich habe versucht das mal zu zerlegen und für die z's (a +
> bi) bzw. [mm]\overline{z}'s[/mm] (a - bi) einzufügen.
>
> [mm]z^2[/mm] = (a + bi) * (a + bi) = [mm]a^2[/mm] + abi + abi - b
> = [mm]a^2[/mm] + 2abi - b
> und [mm]z\overline{z}[/mm] = (a + bi) * (a -bi) = [mm]a^2[/mm] - abi + abi +
> b
> = [mm]a^2[/mm] + b
>
> [mm]z\overline{z}[/mm] = [mm]z^2[/mm] + 2 [mm]|-z^2[/mm]
> [mm]-z^2[/mm] + [mm]z\overline{z}[/mm] = 2
> Also:
> [mm]-(a^2[/mm] + 2abi - b) + [mm]a^2[/mm] + b = 2
> = [mm]-a^2[/mm] - 2abi + b + [mm]a^2[/mm] = 2
> -2abi + 2b = 2 |:2
> -abi + b = 1
>
> das ist aber noch nicht die Lösung oder?
> Wie würdet Ihr das machen?
>
> LG ATDT
>
Steffi hat Dich schon auf Fehler aufmerksam gemacht. Kürzer gehts so:
Sei z=a+ib. Aus [mm]z\overline{z}[/mm] = [mm]z^2[/mm] + 2 folgt zunächst: [mm] z^2+2 \in \IR.
[/mm]
Hieraus folgt: a=0 oder b=0.
Jetzt Du
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Di 14.09.2010 | | Autor: | ATDT |
> Steffi hat Dich schon auf Fehler aufmerksam gemacht.
Danke Steffi!
> Kürzer gehts so:
>
> Sei z=a+ib. Aus [mm]z\overline{z}[/mm] = [mm]z^2[/mm] + 2 folgt zunächst:
> [mm]z^2+2 \in \IR.[/mm]
>
> Hieraus folgt: a=0 oder b=0.
Das ist mir nicht ganz klar. Wieso ist a=0 oder b=0?
Bitte erklär mir das damit ich es verstehe. Stehe auf dem Schlauch
ATDT
|
|
|
| |
|
Hallo, gehen wir deinen (längeren) Weg weiter, nach korrekter Klammerauflösung bekommst du
[mm] a^{2}+b^{2}=a^{2}+2abi-b^{2}+2
[/mm]
[mm] 2b^{2}-2=2abi
[/mm]
[mm] b^{2}-1=abi
[/mm]
auf der linken Seite deiner Gleichung steht nur der Realteil, zwangsläufig ist das Produkt a*b auf der rechten Seite der Gleichung gleich Null, jetzt hast du zwei Fälle zu untersuchen:
(1)
a=0 somit
[mm] b^{2}-1=0
[/mm]
(2)
b=0 somit
-1=0
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 Di 14.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Steffi hat Dich schon auf Fehler aufmerksam gemacht.
> Danke Steffi!
> > Kürzer gehts so:
> >
> > Sei z=a+ib. Aus [mm]z\overline{z}[/mm] = [mm]z^2[/mm] + 2 folgt zunächst:
> > [mm]z^2+2 \in \IR.[/mm]
> >
> > Hieraus folgt: a=0 oder b=0.
> Das ist mir nicht ganz klar. Wieso ist a=0 oder b=0?
> Bitte erklär mir das damit ich es verstehe. Stehe auf dem
> Schlauch
Es ist [mm] z*\overline{z}= |z|^2 \in \IR
[/mm]
Aus [mm] z*\overline{z}= |z|^2 =z^2+2 [/mm] folgt dann: [mm] z^2 \in \IR.
[/mm]
Mit z=a+ib ist [mm] $z^2=a^2+2iab-b^2 \in \IR \gdw [/mm] 2iab =0 [mm] \gdw [/mm] ab=0$
FRED
>
> ATDT
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Di 14.09.2010 | | Autor: | ATDT |
Klasse, vielen Daank für eure Hilfe!
In einer Klausur müsste man die Lösung doch anderst aufschreiben oder? ich dachte an eine Lösungsmenge.
Aber wie sieht die dann aus?
L = { O + ri | r [mm] \in \IR [/mm] } [mm] \cup [/mm] { r + 0i | r [mm] \in \IR [/mm] } ?
(Stammt von einer anderen Aufgabe)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 Di 14.09.2010 | | Autor: | fred97 |
[mm] $\{z \in \IC: z*\overline{z}=z^2+2 \}=\{i,-i\}$
[/mm]
FRED
|
|
|
|
