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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:27 Mo 25.01.2010 | | Autor: | jan_333 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil sowie die Polarkoordinaten und die Exponentialform der folgenden komplexen Zahlen und der zugehörigen konjugiert komplexen Zahlen.
- 1+i
- [mm] \bruch{2}{1-i}
[/mm]
- [mm] (2-i)^{3}
[/mm]
- [mm] \bruch{(2-i)(4i-7)}{4+2i} [/mm] |
Hallo,
ich hab überhaupt keine Ahnung, was ich bei dieser Aufgabe machen muss. Was soll ich da bestimmen und wie kann ich das machen?
Bitte um Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:33 Mo 25.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jan!
Vielleicht solltest Du Dich erst einmal allgemein über komplexe Zahlen informieren (was weißt Du denn darüber?).
Dazu ist ![[]](/images/popup.gif) diese Seite sehr hilfreich.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Di 26.01.2010 | | Autor: | jan_333 |
Danke für die Hilfe!
Ich hab mich jetzt mal informiert und einfach mal versucht 1+i zu lösen:
Der Realteil ist 1
Der Imaginärteil ist auch 1
Die Polarkoordinaten sind [mm] r=\wurzel{2} [/mm] und [mm] \varphi=\bruch{\pi}{4}
[/mm]
Die Exponentialform ist [mm] e^{z}=e^{1}(cos(1)+i*sin(1)) [/mm] wobei ich da nicht weiß, was denn gewollt ist, denn mein Ergebnis wäre die Exponentialfunktion.
Die konjugiert komplexe Zahl ist 1-i
Die Ergebnisse darfür sind:
Der Realteil ist 1
Der Imaginärteil ist auch -1
Die Polarkoordinaten sind [mm] r=\wurzel{2} [/mm] und [mm] \varphi=-\bruch{\pi}{4}
[/mm]
Die Exponentialform ist [mm] e^{z}=e^{1}(cos(-1)+i*sin(-1))
[/mm]
Sind die Ergebnisse richtig? Wenn ja, weiß ich dennoch nicht, wie ich bei den anderen Aufgaben vorzugehen habe, da ich die anderen komplexen Zahlen ja noch vereinfachen muss um Real- und Imaginärteil zu erhalten. Und ich hab nirgends verständliche Rechenregeln gefunden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Di 26.01.2010 | | Autor: | jan_333 |
Danke für die schnelle Antwort.
Laut Lehrbuch ist $ [mm] z=\red{r}\cdot{}e^{\red{\varphi}\cdot{}i} [/mm] $ die Polarkoordinatendarstellung oder ist damit die Exponentialform gemeint?
> > Der Realteil ist 1
> > Der Imaginärteil ist auch -1
>
> warum "auch"? Deine konjugiert komplexe Zahl besteht immer
> noch aus einem x und einem y - nur dass jetzt y=-1 ist.
Das "auch" ist nur im Satz, da ich den Satz von oben kopiert hatte und nur die Zahl geändert habe, anstatt auch noch "auch" zu löschen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 Di 26.01.2010 | | Autor: | Herby |
Hi,
> Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil sowie die
> Polarkoordinaten und die Exponentialform der folgenden
> komplexen Zahlen und der zugehörigen konjugiert komplexen
> Zahlen.
>
> - 1+i
>
> - [mm]\bruch{2}{1-i}[/mm]
du weißt nun, wie eine konjugiert komplexe Zahl gebildet wird - bei dieser Aufgabe muss du zunächst den gesamten Bruch mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners erweitern und anschließen wieder auf die Form z=x+yi bringen.
>
> - [mm](2-i)^{3}[/mm]
mmh, [mm] (2-i)^3=(2-i)*(2-i)*(2-i)=....
[/mm]
Oder du bringst 2-i zuerst auf die Exponentialform und potenzierst anschließend [mm] z=\left[r*e^{\varphi*i}\right]^3
[/mm]
>
> - [mm]\bruch{(2-i)(4i-7)}{4+2i}[/mm]
Klammer im Nenner erst eine 2 aus und eweitere anschließend wieder mit der konjugiert komplexen Zal des Nenners
Lg
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Di 26.01.2010 | | Autor: | jan_333 |
Danke für die vielen Tipps!
Habs mal mit deinen Anweisungen versucht:
Aufgabe 2:
[mm] \bruch{3}{2}+\bruch{1}{2}i
[/mm]
Aufgabe 3:
Hab einfach so gerechnet wie bei reellen Zahlen und hab [mm] 8-12i+6i^{2}-i^{3} [/mm] raus. Was mach ich jetzt?
Aufgabe 4:
Hab die 2 ausgeklammert: [mm] \bruch{(2-i)(4i-7)}{2(2+i)}
[/mm]
Was mach ich jetzt. Laut deiner Erklärung soll ich erweitern mit 2-i, aber wie soll ich anschließend vorgehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 Di 26.01.2010 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> Danke für die vielen Tipps!
>
> Habs mal mit deinen Anweisungen versucht:
das hatte ich erwartet 
> Aufgabe 2:
> [mm]\bruch{3}{2}+\bruch{1}{2}i[/mm]
nein, wie hast du gerechnet?
[mm] \bruch{2}{(1-i)}=\bruch{2}{(1-i)}*\bruch{1+i}{1+i}=\bruch{2*(1+i)}{(1-i)*(1+i)}=....
[/mm]
> Aufgabe 3:
> Hab einfach so gerechnet wie bei reellen Zahlen und hab
> [mm]8-12i+6i^{2}-i^{3}[/mm] raus. Was mach ich jetzt?
daran denken, dass [mm] i^2=-1 [/mm] ist und [mm] i^3=i^2*i=(-1)*i=-i
[/mm]
> Aufgabe 4:
> Hab die 2 ausgeklammert: [mm]\bruch{(2-i)(4i-7)}{2(2+i)}[/mm]
> Was mach ich jetzt. Laut deiner Erklärung soll ich
> erweitern mit 2-i, aber wie soll ich anschließend
> vorgehen?
(2-i) ist richtig und dann so wie bei der zweiten Aufgabe oben weitermachen.
Lg
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Di 26.01.2010 | | Autor: | jan_333 |
Danke für die Antwort!
Bei Aufgabe 3 hab ich mal nach deiner Anleitung weitergemacht und habe jetzt 2-11i raus?
Bei Aufgabe 2 weiß ich nicht wie ich nach $ [mm] \bruch{2}{(1-i)}=\bruch{2}{(1-i)}\cdot{}\bruch{1+i}{1+i}=\bruch{2\cdot{}(1+i)}{(1-i)\cdot{}(1+i)}=.... [/mm] $ weiterrechnen soll um den Bruch zu vereinfachen.
Bei Aufgabe 4 hab ich [mm] \bruch{(2-i)(4i-7)(2-1)}{2(2+i)(2-i)} [/mm] und weiß auch da wie bei Aufgabe 2 nicht wie es weitergeht.
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Hallo Jan,
> Danke für die Antwort!
>
> Bei Aufgabe 3 hab ich mal nach deiner Anleitung
> weitergemacht und habe jetzt 2-11i raus? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Bei Aufgabe 2 weiß ich nicht wie ich nach
> [mm]\bruch{2}{(1-i)}=\bruch{2}{(1-i)}\cdot{}\bruch{1+i}{1+i}=\bruch{2\cdot{}(1+i)}{(1-i)\cdot{}(1+i)}=....[/mm]
> weiterrechnen soll um den Bruch zu vereinfachen.
Ach, multipliziere doch den Nenner mal aus, Mensch ...
Oder denke daran, dass für [mm] $z\in\IC$ [/mm] gilt: [mm] $z\cdot{}\overline{z}=|z|^2\in\IR$, [/mm] darum macht man das Ganze ja, ist ja nicht zum Spaß
Hier mit $z=1-i$
> Bei Aufgabe 4 hab ich
> [mm]\bruch{(2-i)(4i-7)(2-1)}{2(2+i)(2-i)}[/mm] und weiß auch da wie
> bei Aufgabe 2 nicht wie es weitergeht.
Was würdest du im Reellen machen?
Den Zähler schleunigst ausmultiplizieren.
Im Nenner auch (bis auf den Vorfaktor 2) oder erinnere dich wieder an [mm] $z\overline{z}=|z|^2\in\IR$ [/mm] !!!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Di 26.01.2010 | | Autor: | jan_333 |
| Aufgabe | | Lösen Sie [mm] z^{2}+iz+6=0 [/mm] |
Danke für die schnelle Antwort!
Habs jetzt versucht und habe folgende Ergebnisse:
Aufgabe 2:
1+i
Aufgabe 4:
[mm] 4i-\bruch{1}{2}
[/mm]
Ich hoffe es ist richtig, denn ich hab noch eine zweite Aufgabe bekommen, wo ich leider auch nicht weiß, was ich zu tun habe. Die Aufgabe steht oben in der Aufgabenstellung.
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Hallo jan_333,
> Lösen Sie [mm]z^{2}+iz+6=0[/mm]
> Danke für die schnelle Antwort!
>
> Habs jetzt versucht und habe folgende Ergebnisse:
>
> Aufgabe 2:
> 1+i
Stimmt.
>
> Aufgabe 4:
> [mm]4i-\bruch{1}{2}[/mm]
Stimmt.
>
> Ich hoffe es ist richtig, denn ich hab noch eine zweite
> Aufgabe bekommen, wo ich leider auch nicht weiß, was ich
> zu tun habe. Die Aufgabe steht oben in der
> Aufgabenstellung.
Gruss
MathePower
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komplexe Zahlen![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]"){kind=small}
