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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Sa 21.02.2009 | | Autor: | sharth |
| Aufgabe | Berechnen Sie alle Lösungen z $ [mm] \varepsilon [/mm] $ der komplexen Zahlen
a) $ [mm] z^{8}=256 [/mm] $ |
Ich weiß leider überhaupt nicht wie ich hier ansetzen soll, habe es mit der Moivre Formel probiert aber komme nicht weiter. Irgendwas habe ich da noch nicht ganz verstanden.
[mm] $z^8= (a_{1}+ja_{2})^{8}=256 [/mm] $
$z [mm] =\wurzel[8]{256 } [/mm] = 2$
Bedeutet das nun, dass z = 2 ist oder das |z| = 2 ist? Wäre nett wenn mir jemand Hilfestellung geben könnte wie man auf die übrigen Lösungen der Gleichung kommt (sollten ja acht an der Zahl sein, oder?).
Gruß,
sharth
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:59 Sa 21.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo sharth!
> habe es mit der Moivre Formel probiert
Völlig richtig.
> aber komme nicht weiter. Irgendwas habe ich da noch nicht ganz
> verstanden.
Du musst zunächst $256 \ = \ 256+0*j$ in die Polardarstellung umformen.
Als reelle Zahl gilt hier: $r \ = \ |256| \ = \ 256$ sowie [mm] $\varphi [/mm] \ = \ 0$ .
> [mm]z^8= (a_{1}+ja_{2})^{8}=256[/mm]
Mit diesem Ansatz rechnest Du Dich tot!
> [mm]z =\wurzel[8]{256 } = 2[/mm]
>
> Bedeutet das nun, dass z = 2 ist oder das |z| = 2 ist?
Der Betrag aller 8 Lösungen beträgt 2.
Setze nun die o.g. Werte in die  Moivre-Formel ein und setze dann die verschiedene Parameter-Werte $k \ = \ 0 \ ... \ 7$ ein.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Sa 21.02.2009 | | Autor: | sharth |
Hallo Loddar,
vielen Dank für die schnelle Antwort. Ich denke ich hab's verstanden.
> Mit diesem Ansatz rechnest Du Dich tot!
Das war mein Problem.
> Setze nun die o.g. Werte in die Moivre-Formel ein und
> setze dann die verschiedene Parameter-Werte [mm]k \ = \ 0 \ ... \ 7
Dann ist also:
|z| = r = [mm] \wurzel[8]{256} [/mm] = 2
$ [mm] \varphi [/mm] \ = [mm] \bruch{0+k*360}{8}$ [/mm] k=0;1....7
Z1 ist dann z.B.:
[mm] z_{1} [/mm] = [mm] 2*e^{j45}
[/mm]
Hoffe das stimmt soweit! Danke für die Hilfe.
Viele Grüße,
sharth
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 Sa 21.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Sharth!
Das sieht soweit gut und richtig aus. Um dann wieder in die Koordinatenform umzuwandeln, kann man umformen:
$$z_1 \ = \ 2*e^{j*45°} \ = \ 2*\left[\cos(45°)+j*\sin(45°)] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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