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| Aufgabe | | Berechnen Sie alle komplexen vierten Wurzeln der Zahl -1. Geben Sie die Ergebnisse in Normalform an |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo.
Hätte mal eine Frage, ob meine Rechnung soweit stimmt:
z4 = -1 = i²
-1 = 1 (cos 180° + i * sin 180°)
Z0 = 4sqrt1 * (cos 180/4 + i * sin 180/4)
Z0 = 1 * (0,7071 + 0,7071i)
Z0 = 0,7071 + 0,7071i
Dann würde es mit Z1, Z2 und Z3 weitergehen. Bin ich da auf dem richtigen Weg?
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Hallo derdiedas,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Berechnen Sie alle komplexen vierten Wurzeln der Zahl -1.
> Geben Sie die Ergebnisse in Normalform an
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hallo.
>
> Hätte mal eine Frage, ob meine Rechnung soweit stimmt:
>
>
> z4 = -1 = i²
[mm]z^{4}=-1=i^{2}[/mm]
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> -1 = 1 (cos 180° + i * sin 180°)
>
> Z0 = 4sqrt1 * (cos 180/4 + i * sin 180/4)
>
> Z0 = 1 * (0,7071 + 0,7071i)
>
> Z0 = 0,7071 + 0,7071i
Schreibe statt dessen:
[mm]z_{0}=\bruch{\wurzel{2}}{2}+\bruch{\wurzel{2}}{2}*i[/mm]
Verwende doch bitte das nächstemal unseren Formeleditor. Das erhöht die Lesbarkeit ungemein.
>
> Dann würde es mit Z1, Z2 und Z3 weitergehen. Bin ich da auf
> dem richtigen Weg?
>
Ja.
Gruß
MathePower
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Hallo nochmal.
Bin nun immer noch an dieser Aufgabe. Hab Sie eine Zeit lang liegen lassen. Nun mein Problem:
Ich soll ja die vierte Wurzel aus -1 ziehen:
-1 = i²
[mm] \wurzel[4]{-1} [/mm]
[mm] \wurzel[2]{-1} [/mm] = i
?
Außerdem ist -1 = y, oder? Wenn ja müsste der Winkel ja [mm] 270\circ [/mm] anstatt [mm] 180\circ [/mm] haben, oder?
Ich danke schonmal.
mfg
Andreas
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> Hallo nochmal.
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> Bin nun immer noch an dieser Aufgabe. Hab Sie eine Zeit
> lang liegen lassen. Nun mein Problem:
> Ich soll ja die vierte Wurzel aus -1 ziehen:
> -1 = i²
> [mm]\wurzel[4]{-1}[/mm]
> [mm]\wurzel[2]{-1}[/mm] = i
> ?
Die Gleichung [mm] z^2 [/mm] = -1 hat die beiden Lösungen [mm] z_1 [/mm] = i , [mm] z_2 [/mm] = -i
>
> Außerdem ist -1 = y, oder?
ich weiss nicht, was du mit y meinst
> Wenn ja müsste der Winkel ja
> [mm]270\circ[/mm] anstatt [mm]180\circ[/mm] haben, oder?
welcher Winkel ?
> Ich danke schonmal.
>
> mfg
>
> Andreas
Hallo Andreas,
du warst vorher ja schon auf dem richtigen Weg und hast eine erste
Lösung [mm] z_0 [/mm] der Gleichung [mm] z^4 [/mm] = -1 gefunden:
[mm] z_0 = 1 * cis(\bruch{\pi}{4}) =\bruch{\wurzel{2}}{2}*(1+i) [/mm]
(ist dir diese cis - Schreibweise bekannt ?)
Es geht nur noch darum, die übrigen 3 Lösungen zu finden.
Diese haben natürlich auch den Betrag 1, nur andere Winkel.
Gruß al-Chwarizmi
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Hallo al-Chwarizmi.
Also wir haben so eine Tabelle wo man die Grad Zahl abließt. Es kommt immer darafu an was x und y für einen Wert hat. z=x+yi.
Wenn -1 x ist muss ich 180 Grad nehmen, wenn y -1 ist muss ich 270 Grad nehmen.
Die 4 Ergebnisse hatte ich auch raus.
Die Aufgabenstellung lautet:
Berechnen Sie alle komplexen vierten Wurzeln der Zahl -1. Geben Sie die Ergebnisse in Normalform an.
Also meinst du nun das die erste Rechnung so richtig ist wie ich sie hatte?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:03 Di 06.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo derdiedas!
Ja, du warst ganz oben auf dem richtig Weg. Allerdings war das nur die erste der vier Lösungen.
Dafür solltest Du die ![[]](/images/popup.gif) MOIVRE-Formel anwenden:
$ [mm] \wurzel[n]{z} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{r}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+i\cdot{}\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\right] [/mm] $ mit $k \ = \ 0 \ ... \ (n-1)$
Dabei gilt: $r \ = \ [mm] \wurzel{x^2+y^2}$ [/mm] sowie [mm] $\tan(\varphi) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y}{x}$
[/mm]
In Deinem Falle gilt: $x \ = \ -1$ sowie $y \ = \ 0$ , damit [mm] $\varphi [/mm] \ = \ 180° \ [mm] \hat= [/mm] \ [mm] \pi$ [/mm] sowie $n \ = \ 4$ .
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:52 Di 06.05.2008 | | Autor: | derdiedas |
Vielen Dank! Jetzt weiß ich bescheid! War also schon richtig nur eine Aussage von einem Mitstudenten hat mich so unsicher gemacht.
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