Komplexe Zahlen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Lösen Sie die Gleichung [mm] x^{3} [/mm] − [mm] x^{2}+\bruch{1}{2}x [/mm] = 0 in R und in C und führen Sie die Probe aus! |
Wie löst man so eine gleichung in C?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:20 Do 17.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Lösen Sie die Gleichung [mm]x^{3}[/mm] − [mm]x^{2}+\bruch{1}{2}x[/mm] =
> 0 in R und in C und führen Sie die Probe aus!
> Wie löst man so eine gleichung in C?
die Gleichung läßt sich umschreiben in [mm] $x*\left(x^2-x+\frac{1}{2}\right)=0$. [/mm] D.h., genau dann ist dieses Produkt 0, wenn $x=0$ ist (setzen wir [mm] $x_0:=0$), [/mm] oder wenn [mm] $x^2-x+\frac{1}{2}=0$ [/mm] (das gilt sowohl in [mm] $\IC$ [/mm] als auch [mm] $\IR$, [/mm] da wir hier nur ein Rechengesetz für Körper angewendet haben und das zuletztgenannte, dass ein Produkt genau dann $=0$ ist, wenn (mindestens) einer der Faktoren $=0$, auch in jedem Körper gilt).
Nun hat die Gleichung [mm] $x^2-x+\frac{1}{2}=0$ [/mm] ja keine Lösung in [mm] $\IR$. [/mm] In [mm] $\IC$ [/mm] weiß man aber, dass sie genau $2$ Lösungen hat (inklusive Vielfachheiten).
Bei der Rechnung in [mm] $\IR$ [/mm] hat man das "Problem", dass der Ausdruck unter der Wurzel negativ ist. Für die Lösung in [mm] $\IC$ [/mm] anzugeben, sollte man hier für $r < 0$ dann den Term [mm] $\sqrt{r}$ [/mm] mit [mm] $\sqrt{|r|}*i=\sqrt{-r}*i$ [/mm] identifizieren.
(Es macht hier Sinn, [mm] $\sqrt{-1}$ [/mm] mit $i$ zu identifizieren.)
D.h. in [mm] $\IC$:
[/mm]
[mm] $x^2-x+\frac{1}{2}=0$
[/mm]
[mm] $\gdw x_{1,2}=\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{-1}{4}}=\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}}*i=\frac{1}{2}+i*\frac{1}{2}$
[/mm]
Also in [mm] $\IR$ [/mm] wird die Gleichung nur von [mm] $x_0=0$ [/mm] gelöst, in [mm] $\IC$ [/mm] wird sie genau von [mm] $x_0=0$, $x_{1,2}=\frac{1}{2}\pm i*\frac{1}{2}$ [/mm] gelöst.
Die Probe kannst Du nun selbst machen.
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
