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| Aufgabe | i*(1+i)^81
(1+i) soll eine komplexe Zahl sein.
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Ich hab dann später beim winkel -45 Grad raus. Muss ich diesen negativen Winkel einsetzen oder 45 von 360 bzw. 180 abziehen?
Kann mir das bitte einer erklären?
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Das mit den 45° ist genau die richtige Idee. Wie du sicher schon weißt, addieren sich beim Multiplizieren komplexer Zahlen die Winkel. Fürs Potenzieren heißt das also, man bekommt Vielfache von 45°. Bei 2·45° = 90° ist man auf der positiven imaginären Achse und bei 4·45° = 180° auf der negativen reellen Achse, bei 8·45° = 360° schließlich auf der positiven reellen Achse. Berechne daher direkt - du brauchst dafür keinerlei Trigonometrie:
[mm](1 + \operatorname{i})^2[/mm] (muß rein imaginär werden)
[mm](1 + \operatorname{i})^4 = \left( \left( 1 + \operatorname{i} \right)^2 \right)^2[/mm] (muß negativ reell werden)
[mm](1 + \operatorname{i})^8 = \left( \left( 1 + \operatorname{i} \right)^4 \right)^2[/mm] (muß positiv reell werden)
[mm]\left( 1 + \operatorname{i} \right)^{80} = \left( \left( 1 + \operatorname{i} \right)^8 \right)^{10}[/mm]
Und dann ist es nicht mehr weit zum Ziel.
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Leider versteh ich das Thema so gut wie garnicht.
Ich hätte das folgendermaßen gelöst:
(i+i²)^81
= |i-1|^81 * (cos 81 * Winkel) + i * sin (81 * Winkel)
= Wurzel aus ((-1)² - 1²) * (~~~)
Geht das so nicht?
Wir sollen das dann irgendwie noch graphisch darstellen, ich bin da völlig planlos.
Für den Winkel hab ich tan (winkel) = y/x --> -1/1 --> winkel = -45 Grad, und das ist negativ
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> Leider versteh ich das Thema so gut wie garnicht.
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> Ich hätte das folgendermaßen gelöst:
>
> (i+i²)^81
Hallo,
mit welcher Begründung sagst Du, daß [mm] i(1+i^2)^{81}=(i+i^2)^{81} [/mm] ist?
Denn die Aussage stimmt zwar, aber ich werde den Verdacht nicht los, daß das ein Zufallstreffer ist.
Ist Dir klar, daß [mm] 2(a+b)^n [/mm] etwas anderes ist als [mm] (2a+2b)^n) [/mm] ?
Machen wir trotzdem jetzt an dieser Stelle weiter.
Du möchtest nun also [mm] i(1+i)^{81}=(i+i^2)^{81}=(-1+i)^{81} [/mm] berechen.
Dazu können wir erstmal (-1+i) in der trig. Schreibweise schreiben:
(-1+i)=|-1+i| [mm] (cos\phi +isin\phi).
[/mm]
Den Betrag können wir ausrechnen, und den Winkel [mm] \phi [/mm] müssen wir noch bestimmen.
|-1+i| [mm] =\wurzel{(-1+i)(-1-i)}=\wurzel{2}, [/mm] also ist
[mm] (-1+i)=\wurzel{2}(cos\phi +isin\phi)
[/mm]
==> [mm] -1=\wurzel{2}cos\phi [/mm] und [mm] 1=\wurzel{2}sin\phi
[/mm]
==> [mm] \phi=135°
[/mm]
also ist [mm] (-1+i)=\wurzel{2}(cos135° [/mm] +isin135°)
Fürs Potenzieren ist nun die Formel von Moivre zuständig, welche sagt: [mm] (|a|(cos\phi+isin\phi))^n=|a|^n(cos(n\phi)+isin(n\phi)),
[/mm]
und das auf Dein Beipiel zu übertragen und auszurechnen, ist nun Dein Job.
Eines noch: "normalerweise" hätte man das ein bißchen anders gemacht: (1+i) in der trig. Darstellung geschrieben, mit Moivre potenziert und das Ergebnis mit i multipliziert.
Gruß v. Angela
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Und ich hätte es so gerechnet:
[mm](1 + \operatorname{i})^2 = 1^2 + 2 \operatorname{i} + \operatorname{i}^2 = 1 + 2 \operatorname{i} - 1 = 2 \operatorname{i}[/mm] (binomische Formel)
Dieses Ergebnis wird weiterverwendet:
[mm](1 + \operatorname{i})^4 = \left( (1 + \operatorname{i})^2 \right)^2 = (2 \operatorname{i})^2 = 2^2 \operatorname{i}^2 = -4[/mm]
Und auch das wird weiterverwendet:
[mm](1 + \operatorname{i})^8 = \left( (1 + \operatorname{i})^4 \right)^2 = (-4)^2 = 16[/mm]
Und auch das wird weiterverwendet:
[mm](1 + \operatorname{i})^{80} = \left( (1 + \operatorname{i})^8 \right)^{10} = 16^{10}[/mm]
Und auch das wird weiterverwendet:
[mm]\operatorname{i} \cdot (1 + \operatorname{i})^{81} = \operatorname{i} \cdot (1 + \operatorname{i^})^{80} \cdot (1 + \operatorname{i}) = 16^{10} ( -1 + \operatorname{i})[/mm]
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