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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:00 Mo 28.04.2014 | | Autor: | Marie886 |
| Aufgabe | Stellen Sie beide Werte des Ausdrucks in der Form a+i*b [mm] (a,b\in \IR [/mm] )
[mm] \bruch{3+4i+ \wurzel{-2i}}{3+i } [/mm] |
Hallo,
ich möchte das oben angegeben Beispiel berechnen.
Zuerst muss ich den Ausdruck [mm] \wurzel{-2i} [/mm] vereinfachen.
[mm] \wurzel{-2i}=\wurzel{2}*\wurzel{-i}=\wurzel{2}*\wurzel{i^3}= (2^\bruch{1}{3}*i)^\bruch{3}{2} [/mm]
mit [mm] z^n= [r^n, n*\varphi]
[/mm]
und nun komme ich auch nicht mehr weiter.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:31 Mo 28.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] -i=1*e^{-i\pi/2}=e^{3*pi/2}
[/mm]
damit ist [mm] (-i)^{1|2}=\pm e^{i*3*pi/4}=cos\3/4*\pi)+isin(3/4*\pi)
[/mm]
in deiner Schreibweise: -i=(1, 3/2·p)i; [mm] (-i)^{1/2}=(1,3/4\pi) [/mm] usw.
ich würde zuerst mit dem konjugiert komplexen des nenners erweitern, also mit 3-i
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Mo 26.05.2014 | | Autor: | Marie886 |
Habe das Beispiel nun gelöst. Jedoch nicht in der Eulerschen Form.
Zu Beginn habe ich mich der [mm] \wurzel{-2i} [/mm] gewidmet und daraus r und [mm] \Phi [/mm] berechnet: a=0, b=-2
r=g= [mm] \wurzel{a^2+b^2}=\wurzel{0^2+(-2)^2}=\wurzel{4}= [/mm] 2
Für [mm] \Phi [/mm] habe ich mir die Real- und Imaginarächse aufgezeichent, b(also 2) und a=0--> somit komme ich für [mm] \Phi [/mm] auf einen Winkel von 90° also [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm]
FRAGE: Wieso muss ich zu [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] noch ein [mm] \pi [/mm] dazurechnen? Habe es aber trotzdem gemacht
[mm] w=[g,\Phi]-->w^n=[g^n, n\Phi]-->w^2=[2,\bruch{3
\pi}{2}]-->w=[\wurzel{2},n\bruch{3\pi}{2}]
[/mm]
Nun bekomme ich 2 Lösungen heraus:
[mm] 2\Phi [/mm] = [mm] \bruch{3\pi}{2}-> \Phi_1 [/mm] = [mm] \bruch{3\pi}{4}
[/mm]
[mm] 2\Phi [/mm] = [mm] \bruch{3\pi}{2}+2\Pi-> \Phi_2 [/mm] = [mm] \bruch{7\pi}{4}
[/mm]
Somit erhalte ich:
[mm] w_1=[\wurzel{2}, \bruch{3\pi}{4}]
[/mm]
[mm] w_2=[\wurzel{2}, \bruch{7\pi}{4}]
[/mm]
Dies setze ich nun in die Polardarstellung ein: [mm] z=r*cos\phi+i*r*sin\phi
[/mm]
[mm] z_1=\wurzel{2}*cos\bruch{3\pi}{4}+i*\wurzel{2}*sin\bruch{3\pi}{4}= \wurzel{2}*(-\bruch{\wurzel{2}}{2})+i*\wurzel{2}*\bruch{\wurzel{2}}{2}= [/mm] -1+i
[mm] z_2=\wurzel{2}*cos\bruch{7\pi}{4}+i*\wurzel{2}*sin\bruch{7\pi}{4}= \wurzel{2}*\bruch{\wurzel{2}}{2}+i*\wurzel{2}*(-\bruch{\wurzel{2}}{2})= [/mm] 1-i
das berechnete [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] setze ich nun in die Angabe anstelle von [mm] \wurzel{-2i} [/mm] ein:
[mm] \bruch{3+4i+\wurzel{-2i}}{3+i}=\bruch{3+4i+{z_1,_2}}{3+i}
[/mm]
-> [mm] \bruch{3+4i+(-1+i)}{3+i}= \bruch{3+4i-1+i}{3+i}*\bruch{3-i}{3-i}=\bruch{9-3i+12i-4i^2-3+i+3i-i^2}{9-i^2}=\bruch{6+13i+5}{10}=\bruch{11+13i}{10}
[/mm]
[mm] ->\bruch{3+4i+1-i}{3+i}*\bruch{3-i}{3-i}=\bruch{9-3i+12i-4i^2+3-i-3i+i^2}{9-i^2}=\bruch{12+6i+3}{10}=\bruch{15+6i}{10}=\bruch{15}{10}+\bruch{6i}{10}=\bruch{3}{2}+\bruch{3i}{5}
[/mm]
Stimmt das nun so??
Liebe Grüße,
Marie886
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:21 Mo 26.05.2014 | | Autor: | Herby |
Hallo Marie,
> Habe das Beispiel nun gelöst. Jedoch nicht in der
> Eulerschen Form.
>
> Zu Beginn habe ich mich der [mm] \wurzel{-2i}[/mm] gewidmet und
> daraus r und [mm]\Phi[/mm] berechnet: a=0, b=-2
>
> r=g= [mm]\wurzel{a^2+b^2}=\wurzel{0^2+(-2)^2}=\wurzel{4}=[/mm] 2
>
> Für [mm]\Phi[/mm] habe ich mir die Real- und Imaginarächse
> aufgezeichent, b(also 2) und a=0--> somit komme ich für
> [mm]\Phi[/mm] auf einen Winkel von 90° also [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]
>
> FRAGE: Wieso muss ich zu [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] noch ein [mm]\pi[/mm]
> dazurechnen?
weil [mm] \pi/2 [/mm] in die positive Richtung (Drehrichtung entgegen Uhrzeigersinn von der positiven reellen Achse aus gesehen) auf der imaginären Achse zeigt, dein Wert -2 aber entgegengesetzt ist. Du hättest auch mit [mm] -\pi/2 [/mm] rechnen können, quasi Drehrichtung im Uhrzeigersinn.
> Habe es aber trotzdem gemacht
>
> [mm]w=[g,\Phi]-->w^n=[g^n, n\Phi]-->w^2=[2,\bruch{3
\pi}{2}]-->w=[\wurzel{2},n\bruch{3\pi}{2}][/mm]
>
> Nun bekomme ich 2 Lösungen heraus:
>
> [mm]2\Phi[/mm] = [mm]\bruch{3\pi}{2}-> \Phi_1[/mm] = [mm]\bruch{3\pi}{4}[/mm]
> [mm]2\Phi[/mm] = [mm]\bruch{3\pi}{2}+2\Pi-> \Phi_2[/mm] = [mm]\bruch{7\pi}{4}[/mm]
>
> Somit erhalte ich:
>
> [mm]w_1=[\wurzel{2}, \bruch{3\pi}{4}][/mm]
> [mm]w_2=[\wurzel{2}, \bruch{7\pi}{4}][/mm]
>
> Dies setze ich nun in die Polardarstellung ein:
> [mm]z=r*cos\phi+i*r*sin\phi[/mm]
>
> [mm]z_1=\wurzel{2}*cos\bruch{3\pi}{4}+i*\wurzel{2}*sin\bruch{3\pi}{4}= \wurzel{2}*(-\bruch{\wurzel{2}}{2})+i*\wurzel{2}*\bruch{\wurzel{2}}{2}=[/mm]
> -1+i
>
> [mm]z_2=\wurzel{2}*cos\bruch{7\pi}{4}+i*\wurzel{2}*sin\bruch{7\pi}{4}= \wurzel{2}*\bruch{\wurzel{2}}{2}+i*\wurzel{2}*(-\bruch{\wurzel{2}}{2})=[/mm]
> 1-i
>
> das berechnete [mm]z_1[/mm] und [mm]z_2[/mm] setze ich nun in die Angabe
> anstelle von [mm]\wurzel{-2i}[/mm] ein:
>
> [mm]\bruch{3+4i+\wurzel{-2i}}{3+i}=\bruch{3+4i+{z_1,_2}}{3+i}[/mm]
>
> -> [mm]\bruch{3+4i+(-1+i)}{3+i}= \bruch{3+4i-1+i}{3+i}*\bruch{3-i}{3-i}=\bruch{9-3i+12i-4i^2-3+i+3i-i^2}{9-i^2}=\bruch{6+13i+5}{10}=\bruch{11+13i}{10}[/mm]
>
> [mm]->\bruch{3+4i+1-i}{3+i}*\bruch{3-i}{3-i}=\bruch{9-3i+12i-4i^2+3-i-3i+i^2}{9-i^2}=\bruch{12+6i+3}{10}=\bruch{15+6i}{10}=\bruch{15}{10}+\bruch{6i}{10}=\bruch{3}{2}+\bruch{3i}{5}[/mm]
>
> Stimmt das nun so??
ein kleiner Rechenfehler
[mm] \bruch{3+4i+1-i}{3+i}*\bruch{3-i}{3-i}=\bruch{9-3i+12i-4i^2+3-i-3i+i^2}{9-i^2}=\bruch{12+\red{5}i+3}{10}=\bruch{15+\red{5}i}{10}=\bruch{15}{10}+\bruch{\red{5}i}{10}=\bruch{3}{2}+\bruch{1}{2}*i
[/mm]
Grüße
Herby
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