Komplexe Wurzeln(3) < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man bestimme alle 3.komplexen Wurzeln der Zahl
[mm] 8*\bruch{2+j}{1-2j}
[/mm]
und gebe diese in Normalform und trigonometrischer Form an. |
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
[mm] z=8*\bruch{2+j}{1-2j}=8j
[/mm]
r=8
[mm] \alpha=90°=\bruch{\pi}{2}
[/mm]
[mm] w_0=2e^{i*\bruch{\pi}{6}}=2*(cos(\bruch{\pi}{6})+i*sin(\bruch{\pi}{6}))
[/mm]
[mm] w_1=2e^{i*\bruch{5\pi}{6}}=2*(cos(\bruch{5\pi}{6})+i*sin(\bruch{5\pi}{6}))
[/mm]
[mm] w_2=2e^{i*\bruch{3\pi}{2}}=2*(cos(\bruch{3\pi}{2})+i*sin(\bruch{3\pi}{2}))
[/mm]
nun soll ich die wurzeln noch in normalenform darstellen:
momentan hab ich sie in der eulerform und in der polarform dargestellt (sowohl die polarform als auch die eulerform werden als trigonometrische form bezeichnet).
die normalenform sieht folgendermaßen aus:
z=x+iy
für [mm] w_0:
[/mm]
[mm] x=2*cos(\bruch{\pi}{6})
[/mm]
[mm] y=2*sin(\bruch{\pi}{6})
[/mm]
somit wäre [mm] z=2*cos(\bruch{\pi}{6})+2*i*sin(\bruch{\pi}{6})
[/mm]
was aber wiederum die polarform ist in meinen augen, aber nicht die normalenform.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 Do 31.07.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Forme doch mal ein wenig um:
[mm] z=8*\bruch{2+j}{1-2j}
[/mm]
[mm] =\bruch{16}{1-2j}+\bruch{8j}{1-2j}
[/mm]
[mm] =\bruch{16}{1-2j}+j*\bruch{8}{1-2j}
[/mm]
[mm] =\bruch{16(1+2j)}{(1-2j)(1+2j)}+j*\bruch{8(1+2j)}{(1-2j)(1+2j)}
[/mm]
(Dieser "Trick" ist oft genug eine grosse Hilfe, also solltest du dir ihn merken.)
[mm] =\bruch{16+32j}{1²-(2j)²}+j*\bruch{8+16j}{1-(2j)²}
[/mm]
[mm] =\bruch{16+32j}{1-4j²}+\bruch{8j+16j²}{1-4j²}
[/mm]
[mm] =\bruch{16+32j}{1+4}+\bruch{8j-16}{1+4}
[/mm]
[mm] =\bruch{16+32j+8j-16}{5}
[/mm]
[mm] =\bruch{40j}{5}
[/mm]
[mm] =0+j*\bruch{40}{5}
[/mm]
=0+8j
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:30 Do 31.07.2008 | | Autor: | BlubbBlubb |
ahhh im prinzip hab ich die normalenform schon zu beginn also bestimmt als ich mit dem konjugiert komplexen des nenners mulitpliziert hab.
thx.
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Hallo Marius,
ich fürchte, Du hast die Aufgabe nicht weit genug gelesen...
Es sind die dritten Wurzeln, für deren Normalform man sich interessiert.
Die Normalform der Zahl hat er doch schon
Gruß v. Angela
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> die normalenform sieht folgendermaßen aus:
>
> z=x+iy
Hallo,
genau.
>
> für [mm]w_0:[/mm]
>
> [mm]x=2*cos(\bruch{\pi}{6})[/mm]
>
> [mm]y=2*sin(\bruch{\pi}{6})[/mm]
>
> somit wäre [mm]z=2*cos(\bruch{\pi}{6})+2*i*sin(\bruch{\pi}{6})[/mm]
>
> was aber wiederum die polarform ist in meinen augen, aber
> nicht die normalenform.
Doch, mit [mm] x:=2*cos(\bruch{\pi}{6}) [/mm] und [mm] y:=2*sin(\bruch{\pi}{6}) [/mm] hast Du doch genau die angestrebte Form.
Die Polarform ist ja [mm] w_0=2*(cos(\bruch{\pi}{6})+*i*sin(\bruch{\pi}{6})).
[/mm]
Und falls Dir jetzt ein "Hä? Das ist doch das gleiche!" auf der Zunge liegt, so antworte ich: "Es ist ja auch nur eine komplexe Zahl [mm] w_0, [/mm] über die wir reden."
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:45 Fr 01.08.2008 | | Autor: | BlubbBlubb |
okay gut dann versteh ich das mit der normalform nun auch. danke
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