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| Aufgabe | Von der komplexen Zahl z=-128 + 128 [mm] \wurzel{3}*j [/mm] sind alle Lösungen w der Gleichung [mm] w^4=z, [/mm] also alle vierten Wurzeln in trigonometrischer Form anzugeben. Die Wurzel mit dem größten Realteil ist außerdem in Normalfrom anzugeben.
(Hinweis arctan [mm] \wurzel{3} [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{3}, [/mm] man beachte den Quadrtanten, in dem z liegt, [mm] \wurzel[4]{256} \in \IN.) [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
meine vorgehensweise:
[mm] w_k [/mm] = [mm] \wurzel[n]{r}*e^{i*(\bruch{\alpha+2k\pi}{n})}
[/mm]
[mm] r=\wurzel{x^2+y^2} =\wurzel{(-128)^2 + (128*\wurzel{3})^2}=256
[/mm]
(Hier ist schonmal mein hauptproblem, wie soll ich ohne taschenrechner drauf kommen, dass das ergebnis der wurzel 256 ist?)
[mm] cos(\alpha)=\bruch{x}{r} =\bruch{-128}{256}=\bruch{-1}{2}
[/mm]
[mm] \alpha=\bruch{2\pi}{3}
[/mm]
(Hier das nächste problem woher weiß ich das der [mm] arccos(\bruch{-1}{2})=\bruch{2\pi}{3} [/mm] ist. die groben werte wie arccos(1), arcsin(1), arccos(0),arcsin(0) weiß ich ja, aber gibt es für die anderen werte irgendwelche merkregeln oder sonstiges?)
[mm] w_0=\wurzel[4]{256}*e^{i*(\bruch{\pi}{6})}=4e^{i(\bruch{\pi}{6})}=4(cos(\bruch{\pi}{6})+isin(\bruch{\pi}{6})) [/mm]
(Auch hier das problem, woher weiß ich ohne taschenrechner, was die vierte wurzel aus 256 ist?)
[mm] w_1=4e^{i(\bruch{2\pi}{3})}=4(cos(\bruch{2\pi}{3})+isin(\bruch{2\pi}{3})) [/mm]
[mm] w_2=4e^{i(\bruch{7\pi}{6})}=4(cos(\bruch{7\pi}{6})+isin(\bruch{7\pi}{6}))
[/mm]
[mm] w_3=4e^{i(\bruch{5\pi}{3})}=4(cos(\bruch{5\pi}{3})+isin(\bruch{5\pi}{3}))
[/mm]
(wie erkenn ich welches der höchste wert ist? ich habe zwar das bild der sinus und cosinus funktion im kopf, aber ich kenne nur die werte von [mm] \bruch{\pi}{2}, \pi [/mm] , [mm] \bruch{3\pi}{2} [/mm] und [mm] 2\pi [/mm] aus dem kopf. werte wie [mm] \bruch{7}{\pi} [/mm] hab ich ja natürlich nicht in kopf, doch man muss doch irgendwie an diese werte kommen, wenn man keine hilfsmittel zur berechnung verwenden darf.)
Wie das mit der Normalform gemeint ist versteh ich nicht.
[mm] x=4cos(\bruch{\pi}{6})
[/mm]
[mm] y=4sin(\bruch{\pi}{6})
[/mm]
Normalform:
z=x+jy
[mm] z=4cos(\bruch{\pi}{6}) +j*4sin(\bruch{\pi}{6})
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:42 Mi 30.07.2008 | | Autor: | abakus |
> Von der komplexen Zahl z=-128 + 128 [mm]\wurzel{3}*j[/mm] sind alle
> Lösungen w der Gleichung [mm]w^4=z,[/mm] also alle vierten Wurzeln
> in trigonometrischer Form anzugeben. Die Wurzel mit dem
> größten Realteil ist außerdem in Normalfrom anzugeben.
> (Hinweis arctan [mm]\wurzel{3}[/mm] = [mm]\bruch{\pi}{3},[/mm] man beachte
> den Quadrtanten, in dem z liegt, [mm]\wurzel[4]{256} \in \IN.)[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> meine vorgehensweise:
>
> [mm]w_k[/mm] = [mm]\wurzel[n]{r}*e^{i*(\bruch{\alpha+2k\pi}{n})}[/mm]
>
> [mm]r=\wurzel{x^2+y^2} =\wurzel{(-128)^2 + (128*\wurzel{3})^2}=256[/mm]
>
> (Hier ist schonmal mein hauptproblem, wie soll ich ohne
> taschenrechner drauf kommen, dass das ergebnis der wurzel
> 256 ist?)
Weil [mm] (-128)^2 [/mm] + [mm] (128*\wurzel{3})^2=128^2+3*128^2=4*128^2 [/mm] ist. Die Wurzel daraus ist 2*128.
>
> [mm]cos(\alpha)=\bruch{x}{r} =\bruch{-128}{256}=\bruch{-1}{2}[/mm]
>
> [mm]\alpha=\bruch{2\pi}{3}[/mm]
>
> (Hier das nächste problem woher weiß ich das der
> [mm]arccos(\bruch{-1}{2})=\bruch{2\pi}{3}[/mm] ist. die groben werte
> wie arccos(1), arcsin(1), arccos(0),arcsin(0) weiß ich ja,
> aber gibt es für die anderen werte irgendwelche merkregeln
> oder sonstiges?)
Die Sinuswere für 0°, 30°, 45°, 60° und 90° sollte man unbedingt kennen.
Zur Erleichterung folgende Eselsbrücke: die Werte sind (in dieser Reihenfolge) [mm] \bruch{1}{2}*\wurzel{0}, \bruch{1}{2}*\wurzel{1}, \bruch{1}{2}*\wurzel{2}, \bruch{1}{2}*\wurzel{3}, \bruch{1}{2}*\wurzel{4} [/mm] (entsprechende Kosinuswerte in umgekehrter Reihenfolge).
Gruß Abakus
>
> [mm]w_0=\wurzel[4]{256}*e^{i*(\bruch{\pi}{6})}=4e^{i(\bruch{\pi}{6})}=4(cos(\bruch{\pi}{6})+isin(\bruch{\pi}{6}))[/mm]
>
> (Auch hier das problem, woher weiß ich ohne taschenrechner,
> was die vierte wurzel aus 256 ist?)
>
> [mm]w_1=4e^{i(\bruch{2\pi}{3})}=4(cos(\bruch{2\pi}{3})+isin(\bruch{2\pi}{3}))[/mm]
>
>
> [mm]w_2=4e^{i(\bruch{7\pi}{6})}=4(cos(\bruch{7\pi}{6})+isin(\bruch{7\pi}{6}))[/mm]
>
>
> [mm]w_3=4e^{i(\bruch{5\pi}{3})}=4(cos(\bruch{5\pi}{3})+isin(\bruch{5\pi}{3}))[/mm]
>
> (wie erkenn ich welches der höchste wert ist? ich habe zwar
> das bild der sinus und cosinus funktion im kopf, aber ich
> kenne nur die werte von [mm]\bruch{\pi}{2}, \pi[/mm] ,
> [mm]\bruch{3\pi}{2}[/mm] und [mm]2\pi[/mm] aus dem kopf. werte wie
> [mm]\bruch{7}{\pi}[/mm] hab ich ja natürlich nicht in kopf, doch man
> muss doch irgendwie an diese werte kommen, wenn man keine
> hilfsmittel zur berechnung verwenden darf.)
>
> Wie das mit der Normalform gemeint ist versteh ich nicht.
> [mm]x=4cos(\bruch{\pi}{6})[/mm]
> [mm]y=4sin(\bruch{\pi}{6})[/mm]
>
> Normalform:
> z=x+jy
>
> [mm]z=4cos(\bruch{\pi}{6}) +j*4sin(\bruch{\pi}{6})[/mm]
>
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kann mir jemand sagen wie ich hier die normalenform von der wurzel mit dem größten realteil notiere?
in meiner forendisskusion "komplexe wurzeln(3)"
hat man das z einfach vereinfacht dargestellt indem man mit dem konjugiert komplexen des nenners multipliziert hat, aber diese methode hat mit dieser aufgabe hier nichts mehr zu tun.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 Do 31.07.2008 | | Autor: | abakus |
> kann mir jemand sagen wie ich hier die normalenform von der
> wurzel mit dem größten realteil notiere?
>
> in meiner forendisskusion "komplexe wurzeln(3)"
> hat man das z einfach vereinfacht dargestellt indem man
> mit dem konjugiert komplexen des nenners multipliziert hat,
> aber diese methode hat mit dieser aufgabe hier nichts mehr
> zu tun.
Rechne einfach von allen deinen 4 Lösungen den Realteil aus. Wenn ich mir die vier Kosinuswerte so ansehe, hat [mm] cos(\pi/6) [/mm] mit [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2} [/mm] den größten Wert, der größte Realteil ist damit [mm] 4*\bruch{\wurzel{3}}{2} [/mm] , der zugehörige Imaginärteil ist [mm] 4*sin(\pi/6)=4*0,5=2.
[/mm]
Die gesuchte Zahl ist also [mm] 2*\wurzel{3}+2i [/mm] .
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:44 Fr 01.08.2008 | | Autor: | BlubbBlubb |
so okay nun versteh ich das, hab die wichtigsten werte jetzt auch auswendig gelernt, bzw. mir die merkregel für die wichtigsten sinus und cosinus werte eingeprägt. wobei um herauszufinden welches der größte realteil ist musste ich mir die cosinus funktion skizzieren, aber ich glaub mal das ist auch der richtige weg.
thx. herr lehrer
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