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Komplexe Wegintegrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:23 Do 23.04.2009
Autor: steppenhahn

Aufgabe
[Dateianhang nicht öffentlich]

Hallo!

Ich wollte fragen, ob meine Berechungen zu der obigen Aufgabe richtig sind:

a)

[mm] $\integral_{\gamma_{1}}^{}{f(x)\ dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2\pi}{f(\gamma_{1}(t))*\gamma_{1}'(t)\ dt}$ [/mm]

$= [mm] \integral_{0}^{2\pi}{f(e^{i*t})*e^{i*t}*i\ dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{\left|(e^{i*t})^{2}\right|}{\overline{e^{i*t}}*(e^{i*t})^{2}}*e^{i*t}*i\ dt}$ [/mm]

$= [mm] \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{e^{-i*t}*e^{2*i*t}}*e^{i*t}*i\ dt}$ [/mm]

$= [mm] \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{e^{i*t}}*e^{i*t}*i\ dt}$ [/mm]

$= [mm] \integral_{0}^{2\pi}{i\ dt}$ [/mm]

$= [mm] [i*t]_{0}^{2\pi} [/mm] = [mm] 2\pi*i$. [/mm]

b)

[mm] $\integral_{\gamma_{1}}^{}{f(x)\ dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2\pi}{f(\gamma_{1}(t))*\gamma_{1}'(t)\ dt}$ [/mm]

$= [mm] \integral_{0}^{2\pi}{f(-2*i+e^{i*t})*e^{i*t}*i\ dt} [/mm] =  [mm] \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{\left|(-2*i+e^{i*t})^{2}\right|}{(\overline{-2*i + e^{i*t}})*(-2*i+e^{i*t})^{2}}*e^{i*t}*i\ dt}$ [/mm]

[mm] $=\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{\left|(-2*i+e^{i*t})^{2}\right|}{(2*i + e^{-i*t})*(-2*i+e^{i*t})^{2}}*e^{i*t}*i\ dt}$ [/mm]

Ist das wirklich der richtige Weg? Weil jetzt wirds soviel Schreibaufwand. Oder gibt es einen besseren?

Vielen Dank für Eure Hilfe,
Stefan.

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Komplexe Wegintegrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:07 Do 23.04.2009
Autor: Leopold_Gast

[mm]\frac{\left| z^2 \right|}{\bar{z} \, z^2} = \frac{|z|^2}{\bar{z} \, z^2} = \frac{\bar{z} \, z}{\bar{z} \, z^2} = \frac{1}{z}[/mm]

Bezug
                
Bezug
Komplexe Wegintegrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:25 Do 23.04.2009
Autor: steppenhahn

Hallo und danke für deine Antwort!

War denn die erste Aufgabe von oben richtig berechnet wäre meine 1. Frage.
Die zweite ist, ob ich dann die zweite richtig gerechnet habe:

Wegintegral $= [mm] \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{-2*i+e^{i*t}}*e^{i*t}*i\ dt}$ [/mm]

$= [mm] \integral_{0}^{2\pi}{\bruch{e^{i*t}*i}{-2*i+e^{i*t}}\ dt}$ [/mm]

Substitution $z = [mm] e^{i*t}$, [/mm] also $dt = [mm] \bruch{dz}{e^{i*t}*i}$, [/mm] Grenzen 0 -> 1, [mm] 2\pi [/mm] -> 1. Das ist jetzt aber komisch. Es stände da:

$= [mm] \integral_{1}^{1}{\bruch{1}{z-2*i}\ dz}$ [/mm]

und das wäre eigentlich 0?

Danke für eure Korrektur und Hilfe,
Stefan.

Bezug
                        
Bezug
Komplexe Wegintegrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:55 Do 23.04.2009
Autor: fred97

Sei H = { z: Im(z) < 0}

bei der 2. Aufgabe liegt Dein Integrationsweg ganz in H.

Die Funktion $f(z) = 1/z$ hat auf H die Stammfunktion $Log(z)$  (Hauptzweig des Logarithmus). Also ist das Integral wegunabhängig. Da Dein Integrationsweg geschlossen ist, ist das Integral = 0.

FRED

Bezug
                                
Bezug
Komplexe Wegintegrale: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:04 Do 23.04.2009
Autor: steppenhahn

Hallo Fred, danke für deine Antwort!

Jetzt ist mir alles klar.

Viele Grüße, Stefan.

Bezug
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