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[mm] e^z:= \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{z^n}{n!} [/mm] z e C
konvergiert (in einem analogen Sinn wie im Reellen) absolut für alle z e C.
Zeigen sie damit für x e R
2cos x = [mm] e^{ix}+e{-ix} [/mm]
2i sin x = [mm] e^{ix}-e{-ix} [/mm]
und die Eulersche Formel
[mm] e^{ix} [/mm] = cos x + i sin x
zeigen Sie
cos (x+y) =cosx*cosy-sinx*siny x,y e R
[mm] Cos^2 [/mm] x +sin^2x=1
Habe hier bei keinen Plan wäre könnte helfen ?
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:46 Di 29.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Mathe-loser,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]e^z:= \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{z^n}{n!}[/mm] z e C
>
> konvergiert (in einem analogen Sinn wie im Reellen) absolut
> für alle z e C.
>
> Zeigen sie damit für x e R
>
> 2cos x = [mm]e^{ix}+e{-ix}[/mm]
>
> 2i sin x = [mm]e^{ix}-e{-ix}[/mm]
Wie habt Ihr denn [mm] $\cos [/mm] x$ und [mm] $\sin [/mm] x$ definiert?
Als (reelle) Potenzreihe oder am Einheitskreis?
Viele Grüße,
Marc
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HI habe es nun für 2 i sin x =.....
Selbst versucht leider bin ich nur irgendwie bis zu dieser Indexersetzung gekommen dannach ging irgend etwas schief
komme da dann auf =
[mm] =\limes_{n \to \infty}\summe_{n=0}^{N} 1/2*(1+(-1)^{n+1})*i^{n+1}*\bruch{x^{n+1}}{n}
[/mm]
komme dann nach noch einer umformung auf
=1/2 [mm] \limes_{n \to \infty}\summe_{n=0}^{N} \bruch{x^{(î^{n+1}^x+n+1)}}{n!} [/mm] * [mm] \summe_{n=0}^{N} \bruch{x^{(î^{n+1}+x+n+1)}}{n} [/mm]
Könnte mir jemand bitte nochmals helfen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:19 Do 01.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Mathe-loser,
[mm] $\sin x=\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n \bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
[/mm]
[mm] $\sin [/mm] x$
[mm] $=\limes_{N\to\infty} \summe_{n=0}^{N} (-1)^n \bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
[/mm]
[mm] $=\limes_{N\to\infty} \summe_{n=0}^{N} (i^2)^n*\bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ [/mm] (denn [mm] $-1=i^2$)
[/mm]
[mm] $=\limes_{N\to\infty} \summe_{n=0}^{N} i^{2n}*\bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
[/mm]
[mm] $=\limes_{N\to\infty} \summe_{n=0}^{N} 1*i^{2n}*\bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+0*i^{2n}*\bruch{x^{2n}}{(2n)!}$
[/mm]
[mm] $=\limes_{N\to\infty} \summe_{n=0}^{N} \underbrace{\bruch{1}{2}(1+(-1)^{2n})}_{=1}*i^{2n}*\bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\underbrace{\bruch{1}{2}(1+(-1)^{2n+1})}_{=0}*i^{2n}*\bruch{x^{2n}}{(2n)!}$
[/mm]
ich versuche jetzt, im ersten Summanden überall "2n+1" zu erreichen, und im zweiten "2n" [mm] ($1+(-1)^{2n+1}=1-(-1)^{2n}$):
[/mm]
[mm] $=\limes_{N\to\infty} \summe_{n=0}^{N} \bruch{1}{2\blue{i}}(1\blue{-}(-1)^{2n\blue{+1}})*i^{2n\blue{+1}}*\bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\bruch{1}{2\blue{i}}(1-(-1)^{2n})*i^{2n}*\bruch{x^{2n}}{(2n)!}$
[/mm]
(im zweiten Summanden konnte ich das i im Nenner ergänzen, weil dieser ohnehin mit 0 multipliziert wird und verschwindet.)
So wird wieder links über alle geraden und rechts über alle ungeraden Indizes summiert, was es mir erlaubt, eine Summation zu wählen:
[mm] $=\limes_{N\to\infty} \summe_{n=0}^{N} \bruch{1}{2i}(1-(-1)^{n})*i^{n}*\bruch{x^n}{n!}$
[/mm]
Der Rest dürfte jetzt klar sein, falls nicht, melde dich bitte wieder, mit deinem Rechenweg bis zu der Stelle, an der du nicht weiter kommst.
Viele Grüße,
Marc
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Zudem habe ich versucht zu beweisen das
cos(x+y) = cosx*cosy-sinx*siny
Aber kamm nur auf das ergebnis
[mm] 1/2*(e^{(ix)^2}+e{(-iy^2)}-1/2*(e^{(ix)^2}+e{(-iy^2)} [/mm] das sollte cos(x+y) sein wenn ich mich nicht verrechnet habe. Aber wie bekomme ich hier nun wenigstens das ...^2 weg oder was habe ich falsch gemacht?
Dann bei [mm] cos^2 [/mm] x + [mm] sin^2 [/mm] x=1
komme ich auf [mm] e^{ix}*e^{-ix}=1 [/mm]
Aber weiter weiss ich nicht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 Mi 30.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Mathe-loser,
> Zudem habe ich versucht zu beweisen das
>
> cos(x+y) = cosx*cosy-sinx*siny
>
> Aber kamm nur auf das ergebnis
>
>
> [mm]1/2*(e^{(ix)^2}+e{(-iy^2)}-1/2*(e^{(ix)^2}+e{(-iy^2)}[/mm] das
> sollte cos(x+y) sein wenn ich mich nicht verrechnet habe.
> Aber wie bekomme ich hier nun wenigstens das ...^2 weg oder
> was habe ich falsch gemacht?
Du scheinst die Potenzgesetze falsch angewendet zu haben.
Beispielsweise ist
[mm] $e^{ix}*e^{iy}=e^{ix+iy}$
[/mm]
oder
[mm] $e^{ix}*e^{ix}=e^{ix+ix}=e^{2ix}$
[/mm]
Die Exponenten werden also addiert, wenn zwei Potenzen gleicher Basis multipliziert werden.
> Dann bei [mm]cos^2[/mm] x + [mm]sin^2[/mm] x=1
>
> komme ich auf [mm]e^{ix}*e^{-ix}=1[/mm]
Verstehe ich nicht, diese Gleichung ist doch allgemeingültig, d.h. alle x erfüllen diese Gleichung? Damit wäre die Behauptung doch gezeigt.
Poste am besten mal die Rechenwege, dann kann ich dir besser weiterhelfen.
Viele Grüße,
Marc
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