Komplexe Nullstellen von Sinus < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:58 Fr 29.10.2010 | | Autor: | Damasus |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass Sinus und Kosinus als Funktionen von [mm] $\IC \to \IC$ [/mm] keine anderen Nullstellen als die bekannten reellen Nullstellen besitzen. |
Guten Tag erstmal, ich beschäftige mich zur Zeit mit der obigen Frage. Mein Ansatz:
$sin(z) = 0$
[mm] $\gdw \bruch{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} [/mm] = 0$
Nun ersetze ich noch $z=a+bi$
[mm] $\gdw e^{ia-b} [/mm] = [mm] e^{b-ia}$
[/mm]
Nun hänge ich fest, ich bin mir sicher das nicht viel fehlt, aber ich seh den nächsten Schritt nicht. (Kosinus analog).
Ich hoffe auf eine Antwort.
Mfg, Damasus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:12 Fr 29.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass Sinus und Kosinus als Funktionen von [mm]/IC /to /IC[/mm]
> keine anderen Nullstellen als die bekannten reelen
> Nullstellen besitzen.
> Guten Tag erstmal, ich beschäftige mich zur Zeit mit der
> obigen Frage. Mein Ansatz:
>
> [mm]sin(z) = 0[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} = 0[/mm]
Das ist schon mal gut.
Also: [mm] e^{iz}-e^{-iz}= [/mm] 0 [mm] \gdw e^{2iz}=1
[/mm]
Beachte : [mm] e^w=1 \gdw [/mm] es ex. k [mm] \in \IZ [/mm] mit $w=2k [mm] \pi [/mm] i$
FRED
> Nun
> ersetze ich noch [mm]z=a+bi[/mm]
> [mm]\gdw e^{ia-b} = e^{b-ia}[/mm]
>
> Nun hänge ich fest, ich bin mir sicher das nicht viel
> fehlt, aber ich seh den nächsten Schritt nicht. (Kosinus
> analog).
>
> Ich hoffe auf eine Antwort.
>
> Mfg, Damasus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 Fr 29.10.2010 | | Autor: | Damasus |
aha gut zu wissen. Also schließe ich weiter:
[mm] $e^{2iz} [/mm] = 1 [mm] \gdw$ [/mm] es ex. ein [mm] $k\in\IZ$ [/mm] mit $2iz = [mm] 2ik\pi \gdw [/mm] z = [mm] k\pi$
[/mm]
Damit ist gezeigt, dass es nur die reelen Nullstellen $z = [mm] k\pi$, [/mm] also insbesondere, dass der Imaginärteil b=0 sein muss.
oder?^^
Aber nun zum Cosinus, da verfahre ich ähnlich und nach etwas umformen gelange ich zu
[mm] $e^{2iz}=-1$ [/mm] Ich denke nicht, dass ich so einfach quadrieren kann, denn dann komme ich auf z = [mm] \bruch{k\pi}{2}. [/mm] Das gefällt mir nicht ganz.
Wo steckt der Hacken?^^
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Hallo,
> aha gut zu wissen. Also schließe ich weiter:
>
> [mm]e^{2iz} = 1 \gdw[/mm] es ex. ein [mm]k\in\IZ[/mm] mit [mm]2iz = 2ik\pi \gdw z = k\pi[/mm]
>
> Damit ist gezeigt, dass es nur die reelen Nullstellen [mm]z = k\pi[/mm], ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> also insbesondere, dass der Imaginärteil b=0 sein muss.
>
> oder?^^
>
> Aber nun zum Cosinus, da verfahre ich ähnlich und nach
> etwas umformen gelange ich zu
> [mm]e^{2iz}=-1[/mm] Ich denke nicht, dass ich so einfach quadrieren
> kann, denn dann komme ich auf z = [mm]\bruch{k\pi}{2}.[/mm] Das
> gefällt mir nicht ganz.
>
> Wo steckt der Hacken?^^
Schreibe [mm]-1=e^{i\cdot{}\pi}[/mm]
Dann benutze: [mm]e^{w_1}=e^{w_2}\gdw w_1-w_2=2k\pi i[/mm] mit [mm]k\in\IZ[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:09 Fr 29.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> aha gut zu wissen. Also schließe ich weiter:
>
> [mm]e^{2iz} = 1 \gdw[/mm] es ex. ein [mm]k\in\IZ[/mm] mit [mm]2iz = 2ik\pi \gdw z = k\pi[/mm]
>
> Damit ist gezeigt, dass es nur die reelen Nullstellen [mm]z = k\pi[/mm],
> also insbesondere, dass der Imaginärteil b=0 sein muss.
>
> oder?^^
>
> Aber nun zum Cosinus, da verfahre ich ähnlich und nach
> etwas umformen gelange ich zu
> [mm]e^{2iz}=-1[/mm] Ich denke nicht, dass ich so einfach quadrieren
> kann, denn dann komme ich auf z = [mm]\bruch{k\pi}{2}.[/mm] Das
> gefällt mir nicht ganz.
Warum nicht ? Du hast schon mal: cos(z) =0 [mm] \Rightarrow [/mm] es ex. k [mm] \in \IZ [/mm] mit z = [mm]\bruch{k\pi}{2}.[/mm] .
Damit weißt Du : die Nullstellen des komplexen Cosinus sind reell und von der Form [mm] \bruch{k\pi}{2} [/mm] mit k ganz.
Natürlich sind nicht alle Zahlen der obigen Form Nullstellen von cos. Die reellen Nullstellen von cos sind Dir bekannt. Also wirf die Zahlen der Form [mm] \bruch{k\pi}{2} [/mm] raus, die keine Nullstellen sind.
FRED
>
> Wo steckt der Hacken?^^
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