Komplexe Gleichung lösen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:11 Di 11.01.2011 | | Autor: | misty |
| Aufgabe | | Lösen Sie [mm] (z+2(1+i)^5)^2 [/mm] = 2i. Stellen Sie die Lösung in der Form x+iy dar. |
Guten Tag,
Wie kann man diese Gleichung lösen?
Ich habe es folgendermassen versucht:
[mm] z+2(1+i)^5 [/mm] = [mm] \wurzel{2i}
[/mm]
z = [mm] \wurzel{2i}-(2+2i)^5
[/mm]
z = [mm] \wurzel{2i}-128i+128
[/mm]
Anscheinend habe ich etwas falsch gerechnet, denn die Lösungen wären [mm] z_{1}=7+7i [/mm] und [mm] z_{2}=9+9i
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Für einen Tipp bin ich sehr dankbar!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:18 Di 11.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Lösen Sie [mm](z+2(1+i)^5)^2[/mm] = 2i. Stellen Sie die Lösung in
> der Form x+iy dar.
> Guten Tag,
> Wie kann man diese Gleichung lösen?
> Ich habe es folgendermassen versucht:
>
> [mm]z+2(1+i)^5[/mm] = [mm]\wurzel{2i}[/mm]
[mm] $\sqrt{i}$ [/mm] ist nur eine andere Schreibweise für alle $w [mm] \in \IC$ [/mm] mit [mm] $w^2=i\,.$ [/mm] (Analoges gilt für [mm] $\sqrt{2i}\,,$ [/mm] siehe unten.) Es ist daher ein wenig verwirrend, wenn Du das so schreibst - dann müsstest Du die beiden komplexen Zahlen für [mm] $\sqrt{2i}$ [/mm] schon in ihrer Notation, mit Real- und Imaginärteil - konkret angeben und damit weiterrechnen.
> z = [mm]\wurzel{2i}-(2+2i)^5[/mm]
Seit wann gilt denn etwas wie [mm] $a(b+c)^n=(ab+ac)^n$? [/mm] Vielmehr gilt etwas wie
[mm] $$a^n(b+c)^n=(a*(b+c))^n=(ab+ac)^n\,.$$
[/mm]
> z = [mm]\wurzel{2i}-128i+128[/mm]
>
> Anscheinend habe ich etwas falsch gerechnet...
Kannst Du mal die Zwischenschritte dazuschreiben, damit Deine Rechnung nachvollziehbar/kontrollierbar wird? (Auf die Schnelle sind mir da jedenfalls Rechenschritte unklar ...)
Außerdem:
[mm] $$\sqrt{2i}\;\;(=\sqrt{2}\sqrt{i})$$
[/mm]
steht für (diejenigen) $w [mm] \in \IC$ [/mm] mit [mm] $w^2=2i\,.$ [/mm] Letztgenannte Gleichung hat zwei Lösungen $w [mm] \in \IC\,,$ [/mm] die man auch jeweils mithilfe ihres Real- bzw. Imaginärteil vernünftig(er) angeben kann.
Jedenfalls:
wenn man die (allg.) binomische Formel nachschlägt oder einen Blick auf das sogenannte Pascalsche Dreieck wirft, kann man benutzen:
[mm] $$(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5 \,.$$
[/mm]
Auch das Wurzelziehen, was Du am Anfang getan hast, geht nicht so leicht. Denn [mm] $\sqrt{2i}=\sqrt{2}\sqrt{i}$ [/mm] gilt zwar, aber [mm] $\sqrt{i}$ [/mm] ist dabei eine (der beiden) Lösungen $w [mm] \in \IC$ [/mm] von [mm] $w^2=i\,.$
[/mm]
Beachte bei alldem auch:
[mm] $$i^1=i,\;i^2=-1,\;i^3=-i,\;i^4=1,\;$$
[/mm]
[mm] $$i^5=i,\;\;\;(i^6=-1,\;i^7=-i,\;i^8=1,\;$$
[/mm]
[mm] $$i^9=i,\;i^{10}=-1,\;i^{11}=-i,\;i^{12}=1,\;\ldots)$$
[/mm]
Ich erhalte somit (beachte auch, dass die Zeilen durch ein mathematisches Symbol [mm] ("$\gdw$") [/mm] in Bezug zueinander gesetzt werden, so dass die Rechnung nicht wie eine zusammenhanglos erscheinende Anreihung von Gleichungen wirkt; man sollte sich der mathematischen Symbole, deren Bedeutung und deren Nutzung schon bewußt sein!)
[mm] $$(z+2(1+i)^5)^2=2i$$
[/mm]
[mm] $$\gdw (z+2*1^5-2*10*1^3+2*5*1^1+i*(2*5*1^4-2*10*1^2+2*1^0))^2=2i$$
[/mm]
[mm] $$\gdw (z-8+i*(-8))^2=2i\,.$$
[/mm]
Jetzt [mm] $z=x+i*y\,$ [/mm] (mit einem $x,y [mm] \in \IR$) [/mm] setzen:
[mm] $$\gdw ((x-8)+i*(y-8))^2=2i$$
[/mm]
ausmultiplizieren und Real- und Imaginärteil jeweils zusammenfassen und vergleichen.
Damit folgen dann die beiden Gleichungen
[mm] $$(x-8)^2-(y-8)^2=0$$
[/mm]
und
[mm] $$(x-8)(y-8)=1\,$$
[/mm]
in den reellen Variablen [mm] $x,y\,,$ [/mm] deren Lösungsmenge zu bestimmen ist.
(Deine Lösungspaare $(x,y)=(7,7)$ bzw. $(x,y)=(9,9)$ lösen die letzten beiden Gleichungen offenbar. Damit sind dann auch schon alle Lösungen gefunden. Warum?
Tipp dazu:
Man kann den "Fundamentalsatz der Algebra" draufloswerfen/ ist natürlich ein schweres Geschütz. Hier geht es aber auch einfacher:
Durch Quadratur der zweiten Gleichung erhält man (wenn man nicht weiter drüber nachdenken will, ob das auch hinreichend ist) jedenfalls notwendige Bedingungen für das obige Gleichungssystem.)
P.S.:
Die Aufgabe wird wesentlich einfacher, wenn man so etwas wie
[mm] $$z=|z|\exp(i\phi)$$
[/mm]
benutzen darf und damit schon zu rechnen weiß.
P.P.S.:
Wenn Du Deine Rechnung - in korrigierter Weise - fortführen möchtest:
1. Begründe, dass [mm] $z^2=i \gdw (z=z_1$ [/mm] oder [mm] $z=z_2$) [/mm] mit [mm] $z_{j}:=(-1)^j*\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)$ [/mm] für [mm] $j=1,2\,.$
[/mm]
Daher: [mm] $\sqrt{2i}$ [/mm] steht für eine der beiden Zahlen [mm] $\sqrt{2}z_j=(-1)^j(1+i),$ $j=1,2\,.$
[/mm]
2.) Damit:
[mm] $$(z+2(1+i)^5)^2=2i$$
[/mm]
[mm] $$\gdw z=\sqrt{2i}-2(1+i)^5$$
[/mm]
[mm] $$\gdw \ldots \gdw z=\sqrt{2i}+8+8i\,.\text{ (Rechnung analog zu oben!)}$$
[/mm]
Mit 1.) erhält man dann das gleiche Ergebnis.
Gruß,
Marcel
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