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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:21 Do 05.11.2009 | | Autor: | jboss |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit [mm] $z^3 [/mm] = [mm] \overline{z}$ [/mm] |
Hallo zusammen,
es geht also um obige Aufgabe. Irgendwie tue ich mir schwer mit dem Lösen von Gleichungen in [mm] $\IC$
[/mm]
Meine Idee: Wenn [mm] $z^3 [/mm] = [mm] \overline{z}$, [/mm] so müsste ja auch der Absolutbetrag übereinstimmen. Also:
$$
[mm] |z^3| [/mm] = [mm] |\overline{z}| \gdw |z|^3 [/mm] = [mm] |\overline{z}| \gdw |a+ib|^3 [/mm] = |a-ib| [mm] \gdw (\wurzel{a^2 + b^2})^3 [/mm] = [mm] \wurzel{a^2 + (-b)^2} \gdw (\wurzel{a^2 + b^2})^2 [/mm] = 1 [mm] \gdw a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] = 1$$
Kann ich jetzt einfach z.B nach $a$ umstellen und das in die Ursprungsgleichung einsetzen?
Viele Grüße
Jakob
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:58 Do 05.11.2009 | | Autor: | Denny22 |
> Bestimmen Sie alle [mm]z \in \IC[/mm] mit [mm]z^3 = \overline{z}[/mm]
> Hallo
> zusammen,
> es geht also um obige Aufgabe. Irgendwie tue ich mir
> schwer mit dem Lösen von Gleichungen in [mm]\IC[/mm]
>
> Meine Idee: Wenn [mm]z^3 = \overline{z}[/mm], so müsste ja auch der
> Absolutbetrag übereinstimmen. Also:
> [mm][/mm]
> [mm]|z^3|[/mm] = [mm]|\overline{z}| \gdw |z|^3[/mm] = [mm]|\overline{z}| \gdw |a+ib|^3[/mm]
> = |a-ib| [mm]\gdw (\wurzel{a^2 + b^2})^3[/mm] = [mm]\wurzel{a^2 + (-b)^2} \gdw (\wurzel{a^2 + b^2})^2[/mm]
> = 1 [mm]\gdw a^2[/mm] + [mm]b^2[/mm] = 1[mm][/mm]
> Kann ich jetzt einfach z.B nach [mm]a[/mm] umstellen und das in die
> Ursprungsgleichung einsetzen?
Zunächst stellst Du fest, dass $z=0$ eine Lösung ist. Nun betrachten wir [mm] $z\neq [/mm] 0$. Betrachte [mm] $z=re^{i\varphi}$ [/mm] und [mm] $\overline{z}=re^{-i\varphi}$. [/mm] Nun gilt:
[mm] $z^3=\overline{z}$
[/mm]
[mm] $\Longleftrightarrow\quad z=\left(\overline{z}\right)^{\frac{1}{3}}$
[/mm]
[mm] $\Longleftrightarrow\quad re^{i\varphi}=\left(re^{-i\varphi}\right)^{\frac{1}{3}}$
[/mm]
[mm] $\Longleftrightarrow\quad re^{i\varphi}=r^{\frac{1}{3}}e^{-i\frac{\varphi+2k\pi}{3}}$ [/mm] für $k=0,1,2$
[mm] $\Longleftrightarrow\quad r=r^{\frac{1}{3}}$ [/mm] und [mm] $e^{i\varphi}=e^{-i\frac{\varphi+2k\pi}{3}}$ [/mm] für $k=0,1,2$
[mm] $\Longleftrightarrow\quad [/mm] r=1$ und [mm] $\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)=\cos(-\frac{\varphi+2k\pi}{3})+i\sin(-\frac{\varphi+2k\pi}{3})$ [/mm] für $k=0,1,2$
[mm] $\Longleftrightarrow\quad [/mm] r=1$ und [mm] $\cos(\varphi)=\cos(-\frac{\varphi+2k\pi}{3})$ [/mm] und [mm] $\sin(\varphi)=\sin(-\frac{\varphi+2k\pi}{3})$ [/mm] für $k=0,1,2$
So nun musst Du für jedes $k=0,1,2$ die möglichen [mm] $\varphi$ [/mm] bestimmen, die jeweils die zwei Bedingungen erfüllen. Für $k=0$ erhälst Du beispielsweise [mm] $\varphi\in\{0,\frac{3\pi}{2},3\pi\}$.
[/mm]
> Viele Grüße
> Jakob
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:12 Do 05.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Es gilt:
[mm] $z^3 [/mm] = [mm] \overline{z} \gdw [/mm] z=0$ oder [mm] z^4 [/mm] =1
Beweis:
1. Sei [mm] $z^3 [/mm] = [mm] \overline{z}$ [/mm] . Dann ist z=0 eine Lösung dieser Gleichung. Sei nun z [mm] \not= [/mm] 0. Dann folgt aus [mm] $|z|^3= |\overline{z}|= [/mm] |z|$, dass |z|=1 ist.
Multipliziert man [mm] $z^3 [/mm] = [mm] \overline{z}$ [/mm] mit z, so erhält man
[mm] $z^4 =\overline{z}z= [/mm] 1$
2. Sei z=0 oder [mm] z^4 [/mm] = 1. z=0 erfüllt [mm] $z^3 [/mm] = [mm] \overline{z}$. [/mm] Sei also [mm] z^4 [/mm] = 1. Dann ist |z|=1. Multipliziert man [mm] z^4=1 [/mm] mit [mm] \overline{z}, [/mm] so ergibt sich
[mm] $\overline{z} [/mm] = [mm] \overline{z}*z*z^3= z^3$
[/mm]
FRED
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