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Komplexe Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:02 So 05.07.2009
Autor: tedd

Aufgabe
Bestimmen Sie Alle Lösungen der folgenden komplexen Gleichung:

[mm] z^3*(z^{\*})^2=4+4*j [/mm]

ich würde die Gleichung gerne lösen, indem ich in die Eulersche Darstellungsform übergehe und komme nicht weiter:

[mm] z^3*(z^{\*})^2=4+4*j [/mm] kann ich erstmal zusammenfassen zu

[mm] |z|^4*z=4+4*j [/mm]

dann:

[mm] |z|^4*|z|*e^{j*arg(z)}=\sqrt{32}*e^{j*\bruch{\pi}{4}} [/mm]

[mm] \gdw |z|^5*e^{j*arg(z)}=\sqrt{32}*e^{j*\bruch{\pi}{4}} [/mm]
Und jetzt?
Ich binn mir nicht sicher aber jetzt kann man doch die Beträge und Argumente miteinander vergleichen oder?

Beträge:

[mm] |z|^5=\sqrt{32} [/mm]

aber wie geht es jetzt weiter?

[mm] |z|=\sqrt[10]{32} [/mm] ?

Argumente:

[mm] arg(z)=\bruch{\pi}{4} [/mm]

und jetzt?

Schonmal danke im vorraus für eure Hilfe.

Besten Gruß,
tedd
        
Bezug
Komplexe Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:09 So 05.07.2009
Autor: schachuzipus

Hallo tedd,

> Bestimmen Sie Alle Lösungen der folgenden komplexen
> Gleichung:
>  
> [mm]z^3*(z^{\*})^2=4+4*j[/mm]
>  ich würde die Gleichung gerne lösen, indem ich in die
> Eulersche Darstellungsform übergehe und komme nicht
> weiter:
>  
> [mm]z^3*(z^{\*})^2=4+4*j[/mm] kann ich erstmal zusammenfassen zu
>  
> [mm]|z|^4*z=4+4*j[/mm] [ok]
>  
> dann:
>  
> [mm]|z|^4*|z|*e^{j*arg(z)}=\sqrt{32}*e^{j*\bruch{\pi}{4}}[/mm]  [ok]
>  
> [mm]\gdw |z|^5*e^{j*arg(z)}=\sqrt{32}*e^{j*\bruch{\pi}{4}}[/mm]
>  Und
> jetzt?
>  Ich binn mir nicht sicher aber jetzt kann man doch die
> Beträge und Argumente miteinander vergleichen oder?
>  
> Beträge:
>  
> [mm]|z|^5=\sqrt{32}[/mm] [ok]

>  
> aber wie geht es jetzt weiter?
>  
> [mm]|z|=\sqrt[10]{32}[/mm] ? [ok]

[mm] $=\sqrt{2}$ [/mm]

>  
> Argumente:
>  
> [mm]arg(z)=\bruch{\pi}{4}[/mm]
>  
> und jetzt?

Nun hast du doch [mm] $z=\sqrt{2}\csot{}e^{j\cdot{}\frac{\pi}{4}}$ [/mm] heraus.

Und das ist $=1+i$

>  
> Schonmal danke im vorraus für eure Hilfe.
>  
> Besten Gruß,
>  tedd

LG

schachuzipus
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