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Komplexe Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:47 So 05.07.2009
Autor: tedd

Aufgabe
Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden Komplexen Gleichung:
[mm] z^3=|z| [/mm]

Halloooo!

Also ich denke man kriegt das am schnellsten in der Eulerschen Darstellung hin:

[mm] z^3=|z| [/mm]

[mm] \gdw |z|^3*e^{j*3*arg(z)}=|z| [/mm]

Habe ich richtig in die Eulersche Darstellung umgeformt?
Jetzt kann ich den ersten Fall für [mm] |z|\not= [/mm] untersuchen:

[mm] \gdw |z|^2*e^{j*3*arg(z)}=1 [/mm]

Ab jetzt werde ich unsicher... muss ich jetzt die Beträge und die Argumente vergleichen?

Das wär ja dann folgendes:

Beträge : [mm] |z|^2=1 \gdw x^2+y^2=1 [/mm]
Argumente: [mm] 3*arg(z)=2*k*\pi \gdw arg(z)=\bruch{2}{3}*k*\pi [/mm]

Irgendiwe habe ich das Gefühl, dass ich da was falsch gemacht hab und ausserdem weis ich nicht wie ich jetzt weiter vorgehen soll. arg(z) kann ich auch als [mm] \arctan{\bruch{y}{x}} [/mm] schreiben aber ob ich da so machen muss!?
Schonmal danke im vorraus für eure Hilfe! [ok]

Gruß,
tedd
        
Bezug
Komplexe Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:57 So 05.07.2009
Autor: schachuzipus

Hallo tedd,

> Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden Komplexen
> Gleichung:
>  [mm]z^3=|z|[/mm]
>  Halloooo!
>  
> Also ich denke man kriegt das am schnellsten in der
> Eulerschen Darstellung hin:
>  
> [mm]z^3=|z|[/mm]
>  
> [mm]\gdw |z|^3*e^{j*3*arg(z)}=|z|[/mm] [ok]
>  
> Habe ich richtig in die Eulersche Darstellung umgeformt?
>  Jetzt kann ich den ersten Fall für [mm] $|z|\not=\red{0}$ [/mm] untersuchen:

Also für [mm] $z\neq [/mm] 0$

>  
> [mm]\Rightarrow |z|^2*e^{j*3*arg(z)}=1[/mm] [ok]
>  
> Ab jetzt werde ich unsicher... muss ich jetzt die Beträge
> und die Argumente vergleichen?

Jo

>  
> Das wär ja dann folgendes:
>  
> Beträge : [mm]|z|^2=1 \gdw x^2+y^2=1[/mm]

Ja, einfacher, [mm] $|z|^2=1\Rightarrow |z|=\pm 1\Rightarrow [/mm] |z|=1$, also auf dem Einheitskreis

> Argumente: [mm]3*arg(z)=2*k*\pi \gdw arg(z)=\bruch{2}{3}*k*\pi[/mm]

Hier würde ich eher sagen, dass (mit [mm] $arg(z)=\varphi) [/mm] wegen [mm] $|z|^2\cdot{}e^{3j\varphi}=1=1\cdot{}e^{0\cdot{}j}$ [/mm] wie folgt vergleichen musst:

[mm] $3\varphi\equiv [/mm] 0 \ [mm] \mod(2\pi)$ [/mm]

Also [mm] $\varphi\equiv [/mm] .... $

Das in dieser Rechnung ausgeschlossene [mm] $z=0=0+0\cdot{}j$ [/mm] erfüllt die Ausgangsgleichung trivialerweise auch, so dass neben der sich mit obiger Rechnung ergebenden Lösung $z=0$ ebenfalls eine ist ..

>  
> Irgendiwe habe ich das Gefühl, dass ich da was falsch
> gemacht hab und ausserdem weis ich nicht wie ich jetzt
> weiter vorgehen soll. arg(z) kann ich auch als
> [mm]\arctan{\bruch{y}{x}}[/mm] schreiben aber ob ich da so machen
> muss!?
>  Schonmal danke im vorraus für eure Hilfe! [ok]
>  
> Gruß,
>  tedd

LG

schachuzipus
Bezug
                
Bezug
Komplexe Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:24 So 05.07.2009
Autor: tedd

Hi Schachuzipus :-)
> Hallo tedd,
>  
>  
> Hier würde ich eher sagen, dass (mit [mm]$arg(z)=\varphi)[/mm]
> wegen [mm]$|z|^2\cdot{}e^{3j\varphi}=1=1\cdot{}e^{0\cdot{}j}$[/mm]
> wie folgt vergleichen musst:
>  
> [mm]3\varphi\equiv 0 \ \mod(2\pi)[/mm]
>  
> Also [mm]\varphi\equiv ....[/mm]

Ich weis nicht recht ob ich das richtig verstanden habe, aber kann ich dann schreiben (so hatte ichs ja vorher eigentlich schon) : [mm] \phi=\bruch{2}{3}*k*\pi [/mm] ?

> Das in dieser Rechnung ausgeschlossene [mm]z=0=0+0\cdot{}j[/mm]
> erfüllt die Ausgangsgleichung trivialerweise auch, so dass
> neben der sich mit obiger Rechnung ergebenden Lösung [mm]z=0[/mm]
> ebenfalls eine ist ..
>  

Also hätte ich dann eine zwei Lösungen:
[mm] z_1=1*e^{j*\bruch{2}{3}*k*\pi} [/mm]
und
[mm] z_2=0 [/mm]

Allerdings bekomme ich wenn ich zurück in kartesich umwandeln würde für verschiedene k unterschiedliche Real- bzw Imaginärteile raus, weshalb hier wohl irgendwas noch nicht so ganz stimmt.

>
> LG
>  
> schachuzipus

Danke und Gruß,
tedd :-)
Bezug
                        
Bezug
Komplexe Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:19 So 05.07.2009
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Hi Schachuzipus :-)

>  >  
> > [mm]3\varphi\equiv 0 \ \mod(2\pi)[/mm]
>  >  
> > Also [mm]\varphi\equiv ....[/mm]
>  
> Ich weis nicht recht ob ich das richtig verstanden habe,
> aber kann ich dann schreiben (so hatte ichs ja vorher
> eigentlich schon) : [mm]\phi=\bruch{2}{3}*k*\pi[/mm] ?

[daumenhoch]

Ich hatte (mal wieder) zu ungenau gelesen, du hast es natürlich richtig, ich habe es nur anders geschrieben.


> > Das in dieser Rechnung ausgeschlossene [mm]z=0=0+0\cdot{}j[/mm]
> > erfüllt die Ausgangsgleichung trivialerweise auch, so dass
> > neben der sich mit obiger Rechnung ergebenden Lösung [mm]z=0[/mm]
> > ebenfalls eine ist ..
>  >  
>
> Also hätte ich dann eine zwei Lösungen:
>  [mm]z_1=1*e^{j*\bruch{2}{3}*k*\pi}[/mm]

Davon gibt es modulo [mm] 2\pi [/mm] aber drei Stück:

[mm] $z_0=e^{\frac{2}{3}\pi j}$ [/mm]

[mm] $z_1=e^{\frac{4}{3}\pi j}$ [/mm]

[mm] $z_2=e^{\frac{6}{3}\pi j}=e^{2\pi j}=1$ [/mm]


Die liegen auf dem Einheitskreis und bilden ein gleichseitiges [mm] \triangle [/mm]

>  und
> [mm]z_2=0[/mm]
>  
> Allerdings bekomme ich wenn ich zurück in kartesich
> umwandeln würde für verschiedene k unterschiedliche Real-
> bzw Imaginärteile raus, weshalb hier wohl irgendwas noch
> nicht so ganz stimmt.

Doch, doch, alles i.O.



> Danke und Gruß,
>  tedd :-)


LG

schachuzipus
Bezug
                                
Bezug
Komplexe Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:26 So 05.07.2009
Autor: tedd

Super!

Danke fürs drüberschauen schachuzipus :-)

Gruß,
tedd
Bezug
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