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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:34 Di 12.11.2013 | | Autor: | Frisco |
| Aufgabe | <br>
Sei [mm]A=\{ z \in \IC | |z|=1 \}[/mm] und [mm]g : \IC \setminus \{ 0 \} \to \IC, z \mapsto z+ \frac{i}{z}[/mm]
zeichne [mm]g(A)[/mm] |
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Wie gehe ich da nun vor?? ich habe versucht die Funktion mittels [mm]z:=a+ib[/mm] umzuformen.
Ich weiß aus [mm]A[/mm] das gilt [mm]|z|=1 \Rightarrow \sqrt{a^2+b^2}=1 \Rightarrow a^2+b^2=1[/mm]
nun erhalte ich folgendes:
[mm]g(A)=a+bi+ \frac{i}{a+bi}=...=a+bi+i(a-bi)=(a+b)+i(a+b)[/mm]
nun soweit so gut, nun habe ich einfach mal einige Punkte von der Menge [mm]A[/mm] genommen und diese mittels g abgebildet.
Dabei kommt bei mir aber irgendwie nichts schönes raus.
so wird zum Beispiel [mm](1|0) \in A \xrightarrow{g} (1|i)[/mm] des weiteren [mm](-1|0) \in A \xrightarrow{g} (-1|-i)[/mm], aber [mm](0|i) \in A \xrightarrow{g} (i|-1)[/mm],
kann mir jemand sagen wie der graph von [mm]g(A) [/mm] aussieht bzw wie ich da vorgehen kann um diesen zeichnen zu können?
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> Sei [mm]A=\{ z \in \IC | |z|=1 \}[/mm] und [mm]g : \IC \setminus \{ 0 \} \to \IC, z \mapsto z+ \frac{i}{z}[/mm]
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> zeichne [mm]g(A)[/mm]
> Wie gehe ich da nun vor?? ich habe versucht die Funktion
> mittels [mm]z:=a+ib[/mm] umzuformen.
> Ich weiß aus [mm]A[/mm] das gilt [mm]|z|=1 \Rightarrow \sqrt{a^2+b^2}=1 \Rightarrow a^2+b^2=1[/mm]
>
> nun erhalte ich folgendes:
> [mm]g(A)=a+bi+ \frac{i}{a+bi}=...=a+bi+i(a-bi)=(a+b)+i(a+b)[/mm]
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> nun soweit so gut, nun habe ich einfach mal einige Punkte
> von der Menge [mm]A[/mm] genommen und diese mittels g abgebildet.
> Dabei kommt bei mir aber irgendwie nichts schönes raus.
> so wird zum Beispiel [mm](1|0) \in A \xrightarrow{g} (1|i)[/mm]
> des weiteren [mm](-1|0) \in A \xrightarrow{g} (-1|-i)[/mm], aber
> [mm](0|i) \in A \xrightarrow{g} (i|-1)[/mm],
> kann mir jemand
> sagen wie der graph von [mm]g(A)[/mm] aussieht bzw wie ich da
> vorgehen kann um diesen zeichnen zu können?
Hallo Frisco,
genau dieselbe Frage wurde in den vergangenen 2 Tagen
schon von 3 weiteren Usern (vermutlich Mitstudenten
von dir) gestellt. Dabei war auch noch eine erste Funktion
f mit [mm] $\f(z)\ [/mm] =\ z+ [mm] \frac{1}{z}$
[/mm]
Schau doch bitte mal zuerst in den beiden Threads zu
dieser Aufgabe nach, die wir hier schon hatten, beide
unter der Überschrift "Abbildungen im Komplexen".
Link zu einem von beiden:
https://matheraum.de/read?i=989286
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:10 Di 12.11.2013 | | Autor: | Frisco |
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danke für die verlinkung. Ja das bild von f(A) habe ich noch selber hinbekommen,
aber mich verwirrt einfach das bild von g(A), da für [mm]( \frac{1}{2} \mid \frac{\sqrt{3}}{2}) \xrightarrow{g} (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \mid (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})i)[/mm] herauskommt...
bin ich denn auf dem Holzweg?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:56 Di 12.11.2013 | | Autor: | abakus |
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> danke für die verlinkung. Ja das bild von f(A) habe ich
> noch selber hinbekommen,
> aber mich verwirrt einfach das bild von g(A), da für [mm]( \frac{1}{2} \mid \frac{\sqrt{3}}{2}) \xrightarrow{g} (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \mid (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})i)[/mm]
> herauskommt...
> bin ich denn auf dem Holzweg?
Hallo,
du erhältst also Punkte, deren Real- und Imaginärteil gleich sind. Die liegen alle auf einer Geraden...
Da die Beträge deiner Ergebnisse aber nicht unbeschränkt groß werden können, liegen sie auf einer Strecke. Du brauchst nun noch den Anfangs- und Endpunkt dieser Strecke (extremale Werte des Betrags von z+i/z).
Gruß Abakus
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:07 Di 12.11.2013 | | Autor: | Frisco |
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danke für deine Antwort, das mit der strecke ist mir durch die Aufgabe f(A) klar, nur die frage die ich mir stelle ist, wo ist denn bei [mm](0|i) \in A \xrightarrow{g} (i|-1)[/mm] eben dieser Punkt
(i | -1). ich kann doch nicht auf dem Realteil i abtragen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Do 14.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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