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| Aufgabe | Man untersuche, wo die folgenden Funktionen komplex differenzierbar bzw. holomorph sind, und gebe gegebenenfalls die Ableitung an.
a) f(x+iy)=xy+ixy
b) [mm] f(x+iy)=x^{3}+iy^{3}
[/mm]
c) f(x+iy)= [mm] \bruch{x}{x^{2}+y^{2}}-i\bruch{y}{x^{2}+y^{2}} [/mm] |
Meine Lösungen:
a) y= [mm] \bruch{\partial u}{\partial x}=\bruch{\partial v}{\partial y}= [/mm] x
x= [mm] \bruch{\partial u}{\partial y}=-\bruch{\partial v}{\partial x}= [/mm] -y
Also ist f(x+iy) nur in (0,0) komplexdifferenzierbar.
Es ist also auch nicht holomorph, da nur in (0,0) komplex differenzierbar.
Die Ableitung ist doch dann f´(x+iy)= x-iy
b) Nach Cauchy-Riemann- Gleichung für f(x+iy) sind
y= [mm] \bruch{\partial u}{\partial x}=\bruch{\partial v}{\partial y}=0
[/mm]
und
x= [mm] \bruch{\partial u}{\partial y}=-\bruch{\partial v}{\partial x}=0
[/mm]
Keine Aussage möglich oder???
c)
Nach Cauchy-Riemann- Gleichung für f(x+iy) sind
y= [mm] \bruch{\partial u}{\partial x}=\bruch{\partial v}{\partial y}=\bruch{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^2}
[/mm]
und
x= [mm] \bruch{\partial u}{\partial y}=-\bruch{\partial v}{\partial x}=\bruch{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^2}
[/mm]
[mm] -v_{x}=u_{y}
[/mm]
Die C.R.Dgl sind also erfüllt in [mm] C\backslash [/mm] (0) erfüllt und f ist dort holomorph.
Ableitung lautet:
f´(x+iy)= [mm] \bruch{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^2}- [/mm] i [mm] \bruch{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^2}
[/mm]
Ist das alles richtig so oder nicht? Könnt ihr mir bitte helfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:09 So 29.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Man untersuche, wo die folgenden Funktionen komplex
> differenzierbar bzw. holomorph sind, und gebe
> gegebenenfalls die Ableitung an.
>
> a) f(x+iy)=xy+ixy
>
> b) [mm]f(x+iy)=x^{3}+iy^{3}[/mm]
>
> c) f(x+iy)= [mm]\bruch{x}{x^{2}+y^{2}}-i\bruch{y}{x^{2}+y^{2}}[/mm]
>
> Meine Lösungen:
mit jeweils [mm] $u=\text{Re}f$ [/mm] und [mm] $v=\text{Im}f$
[/mm]
>
> a) y= [mm]\bruch{\partial u}{\partial x}=\bruch{\partial v}{\partial y}=[/mm]
> x
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> x= [mm]\bruch{\partial u}{\partial y}=-\bruch{\partial v}{\partial x}=[/mm]
> -y
Hier gilt doch [mm] $u(x,y)=v(x,y)=xy\,.$ [/mm] Was rechnest Du da oben? Das sind jedenfalls so nicht die partiellen Ableitungen - kann es sein, dass Du schon schreibst, was, sofern die Funktion komplex differenzierbar sein soll, die Funktion zu erfüllen hat? Dann musst Du das auch formulieren. Dann wäre das soweit richtig, wenn Du dazu schreibst:
"An allen Stellen, wo die Funktion komplex differenzierbar sein soll, muss wegen Cauchy-Riemann gelten...."
Aber so, wie Du es aufgeschrieben hast, steht dort, dass [mm] $\partial u/\partial [/mm] y$ sowohl [mm] $=x\,$ [/mm] als auch [mm] $=-y\,$ [/mm] ist (und zwar an allen Stellen $(x,y) [mm] \in \IR^2 \cong \IC$). [/mm] Also formal ist das so einfach falsch!
Du kannst meinetwegen auch "Worte sparen", indem Du ein Ausrufezeichen schreibst:
[mm] $$\partial u/\partial [/mm] x=y [mm] \stackrel{!}{=}x=\partial v/\partial y\,.$$
[/mm]
Ich nehme an, dass Deine Gleichungsketten oben auch in diesem Sinne gemeint sind. Die Bedeutung ist aber wesentlich anders - also eine Gleichheit zu fordern (dort, wo das Ausrufezeichen steht) bedeutet etwas anderes, als eine Gleichheit zu erkennen/behaupten...
> Also ist f(x+iy) nur in (0,0) komplexdifferenzierbar.
Das wird dann als Ergebnis rauskommen.
> Es
Die angegebene Funktion [mm] $f\,$ [/mm] ist das "Es"!
> ist also auch nicht holomorph, da nur in (0,0) komplex
> differenzierbar.
>
> Die Ableitung ist doch dann f´(x+iy)= x-iy
Du kannst doch nur den Wert der Ableitung in [mm] $(0,0)\,$ [/mm] angeben. Von daher macht Deine Frage hier nicht wirklich Sinn. Denke nochmal drüber nach!
> b) Nach Cauchy-Riemann- Gleichung für f(x+iy) sind
Formulierung: Du meinst: Wir prüfen, ob die Cauchy-Riemann-DGLn erfüllt sind!
> y= [mm]\bruch{\partial u}{\partial x}=\bruch{\partial v}{\partial y}=0[/mm]
>
> und
>
> x= [mm]\bruch{\partial u}{\partial y}=-\bruch{\partial v}{\partial x}=0[/mm]
Was rechnest Du hier? Schreib' das nochmal alles sauber auf. Ich sehe zum Beispiel, dass hier [mm] $\partial u/\partial y=\partial u(x,y)/\partial y=0=-0=-\partial v(x,y)/\partial x=-\partial v/\partial [/mm] x$ immer gilt. Und ansonsten erfordern die Cauchy-Riemann-DGLn sowas wie [mm] $3x^2 \stackrel{!}{=}3y^2$ [/mm] an allen Stellen [mm] $(x,y)\,,$ [/mm] an denen [mm] $f\,$ [/mm] komplex diff'bar ist.
> Keine Aussage möglich oder???
Unabhängig davon, dass ich Deine Rechnung nicht verstehe: Warum sollte sich das ergeben?
Oben gilt - wie gesagt:
[mm] $$f(x,y)=\red{u(x,y)}+i\green{v(x,y)}=\red{x^3}+i\green{y^3}\,,$$
[/mm]
also [mm] $u(x,y)=x^3$ [/mm] und [mm] $v(x,y)=y^3\,,.$
[/mm]
Dann ist [mm] $u_x(x,y)=3x^2$ [/mm] und [mm] $v_x(x,y)=0$ [/mm] und [mm] $u_y(x,y)=0$ [/mm] und [mm] $v_y(x,y)=3y^2\,.$ [/mm] Jetzt rechne mal weiter!
> c)
Mit [mm] $f(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}+i*\frac{-y}{x^2+y^2}$ [/mm] folgt [mm] $u(x,y)=x/(x^2+y^2)$ [/mm] und [mm] $v(x,y)=-y/(x^2+y^2)\,.$
[/mm]
Die Funktion wurde laut Aufgabenstellung in [mm] $(0,0)\,$ [/mm] nicht definiert??
> Nach Cauchy-Riemann- Gleichung für f(x+iy) sind
Formulierung! S.o.!!
> y=
Was sollte das [mm] $y\,$ [/mm] dort?
[mm]\bruch{\partial u}{\partial x}=\bruch{\partial v}{\partial y}=\bruch{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^2}[/mm]
Diese Gleichung stimmt so!
>
> und
>
> x=
[mm]\bruch{\partial u}{\partial y}=-\bruch{\partial v}{\partial x}=\bruch{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^2}[/mm]
>
> [mm]-v_{x}=u_{y}[/mm]
>
> Die C.R.Dgl sind also erfüllt in [mm]C\backslash[/mm] (0)
Schreibweise: [mm] $\IC \setminus \{0\}$ [/mm] (oder wir nehmen den isomorphen Raum [mm] $\IR^2 \setminus \{(0,0)\}$).
[/mm]
> erfüllt
> und f ist dort holomorph.
>
> Ableitung lautet:
>
> f´(x+iy)= [mm]\bruch{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^2}-[/mm] i
> [mm]\bruch{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^2}[/mm]
Schau' in ![[]](/images/popup.gif) Satz 29.4, b):
[mm] $$f'(x,y)=\bruch{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^2}+i\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}\,.$$
[/mm]
>
> Ist das alles richtig so oder nicht? Könnt ihr mir bitte
> helfen?
Wie gesagt: Bei der a) würde ich sagen: Mehr Text dazuschreiben, oder Forderungsgleichungen auch als solche kennzeichnen. Ansonsten schienen mir Deine Überlegungen passend.
Bei b) hast Du meiner Ansicht nach einige Fehler und damit auch Folgefehler - insbesondere kapiere ich nicht, wie Du zu dem Schluss, dass keine Aussage möglich sei, gekommen bist.
Aufgabe c) hast Du im Wesentlichen - bis auf eine ähnliche Kritik wie in a) - schon gut gelöst. Aber am Ende die Ableitung falsch hingeschrieben! Das alles natürlich nur, insofern ich das nun selbst korrekt nachgerechnet und überblickt habe.
Gruß,
Marcel
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