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Komplexe Differentiation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:30 So 19.02.2006
Autor: Maiko

Hallo! Ich habe folgendes Problem:

Von folgender Funktion möchte ich die Ableitung bilden.
Mit den Cauchy-Riemannschen-DGLs habe ich überprüft,ob dies möglich ist.
Dies ist hier der Fall.

[mm] f(z)=\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2-x+i*y} [/mm]

Die Ableitung lautet:

[mm] f'(z)=\frac{-x^2+2x+y^2-1}{(x^2-2x+y^2+1)^2}+i*\frac{2y(x-1)}{(x^2+y^2-2x+1)^2} [/mm]

Jetzt möchte ich das ganze in z-Sprache transformieren.
Die Lösung lautet:

[mm] f'(z)=\frac{-1}{(z-1)^2} [/mm]

Leider weiß ich nicht, wie hier vorgegangen wurde. Der letzte Schritt ist mir absolut unklar. Kann mir jmd. vielleicht erklären, wie ich hier vorzugehen habe?

        
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Komplexe Differentiation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:45 So 19.02.2006
Autor: Leopold_Gast

Für [mm]z = x + \operatorname{i}y[/mm] (mit [mm]x,y \in \mathbb{R}[/mm]) ist [mm]\bar{z} = x - \operatorname{i}y[/mm] sowie [mm]z \bar{z} = x^2 + y^2[/mm]

[mm]f(z) = \frac{x^2 + y^2}{x^2 + y^2 - x + \operatorname{i}y} = \frac{z \bar{z}}{z \bar{z} - \bar{z}} = \frac{z}{z-1} = \frac{(z-1) + 1}{z-1} = 1 + \frac{1}{z-1}[/mm]

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Komplexe Differentiation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:40 So 19.02.2006
Autor: Maiko

Vielen Dank für deine Hilfe! Das ist natürlich alles sehr logisch.

Kannst du dir aber erklären, wie die Musterlösung zustande kommt?

Zur Erinnerung:

[mm] f'(z)=\frac{-1}{(z-1)^2} [/mm]

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Komplexe Differentiation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:26 Mo 20.02.2006
Autor: Leopold_Gast

Du mußt einfach [mm]f(z) = 1 + \frac{1}{z-1}[/mm] nach den gewöhnlichen Regeln differenzieren. Falls ihr das noch nicht hattet und du das Ergebnis direkt aus der reellen in die komplexe Schreibweise überführen sollst, dann beachte den folgenden Tip:

[mm]x^2 + y^2 - 2x + 1 = \left( x^2 + y^2 \right) - ( 2x ) + 1 = z \bar{z} - \left( z + \bar{z} \right) + 1 = \left( z - 1 \right) \left( \bar{z} - 1 \right)[/mm]

Drücke ferner [mm]\left( \bar{z} - 1 \right)^2[/mm] in [mm]x,y[/mm] aus und vergleiche.

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Komplexe Differentiation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:32 Mo 20.02.2006
Autor: Maiko

OK. Vielen Dank!

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