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Hallo liebe Community 😃,
Ich möchte gerne die Ableitungen von [mm] f_{1}(z)=(2i)^{z} [/mm] und [mm] f_{2}(z)=z^{1+i} [/mm] berechnen. Leider habe ich gar keine Idee, wie ich da rangehen soll.... Vllt könnt ihr mir ein bisschen helfen :)?
Beste Grüße :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:14 So 24.05.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
In den komplexen Zahlen [mm] \IC [/mm] gilt doch - ähnlich wie im rellen:
[mm] f'(z)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}
[/mm]
Es gelten also weiterhin die aus den reellen Zahlen bekannten Regeln der Ableitung, also Summenregel, Faktorregel, Kettenregel, Produktregel und Quotientenregel.
Leite die beiden Funktionen also mal nach den aus [mm] \IR [/mm] bekannten Regeln ab.
[mm] f_{2}(z)=z^{1+i} [/mm] sollte damit eigentlich problemlos ableitbar sein, das ist da die Form [mm] f(x)=x^{n}, [/mm] dessen Ableitung du sicher bilden kannst.
Und auch [mm] f_{1}(x)=(2i)^{z} [/mm] ist eine Exponentialfunktion der Form [mm] f(x)=a^{x}, [/mm] die Ableitung solltest du aus [mm] \IR [/mm] noch kennen.
Probier mal, wie weit du kommst, dann sehen wir weiter.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:38 Di 26.05.2015 | | Autor: | fred97 |
Die allgemeine Potenz [mm] a^b [/mm] mit a,b [mm] \in \IC [/mm] ist nicht eindeutig:
Es ist [mm] a^b=e^{a*log(b)} [/mm] und der komplexe Logarithmus ist nicht eindeutig.
Beispiel:
[mm] (2i)^z= e^{z*log(2i)}, [/mm]
wobei die Logarithmen von 2i gegeben sind durch
[mm] $log(2)+i*\bruch{\pi}{2}+2 [/mm] k [mm] \pi [/mm] i$ für k [mm] \in \IZ.
[/mm]
Für jedes k [mm] \in \IZ [/mm] bekommen wir also ein "Funktion" [mm] (2i)^z.
[/mm]
FRED
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