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Hi, knabbere zur Zeit an folgendem Beweis
Komme bei [mm] \overline{\lambda} [/mm] und [mm] \overline{\mu} [/mm] nicht weiter, weiss nicht wie ich dies anders ausdrücken kann.
1.) Weise nach das für komplexe Matrizen A, B gleichen Typs und für komplexe Zahlen [mm] \lambda, \mu
[/mm]
stets ( [mm] \lambda [/mm] A + [mm] \mu [/mm] B)* = [mm] \overline{\lambda}(A [/mm] *) + [mm] \overline{\mu}(B [/mm] *) und (A *)* = A gelten !
Also ich weiss nicht wie ich den Beweis am besten führen soll, worauf man achten muss und ob es Möglichkeiten der Abkürzung gibt,
ausserdem soll das oben Stehende ja nicht im Beweis benutzt werden, sondern als Folgerung des Beweises ersichtlich werden soll
Habe versucht den Matrizen A und B Indizes zuzuweisen z.B. [mm] a_{j,k} [/mm] und [mm] b_{l,m}, [/mm] aber bin an den adjungierten [mm] (-1)^{j+k} [/mm] * det( [mm] a_{j,k} [/mm] )
gescheitert.
mein "Lösungsansatz" ist :
A= [mm] \summe_{h=1}^{j} \summe_{i=1}^{k} a_{j,k}
[/mm]
B= [mm] \summe_{h=1}^{l} \summe_{i=1}^{m} b_{l,m}
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] * A = [mm] \lambda [/mm] * [mm] \summe_{h=1}^{j} \summe_{i=1}^{k} a_{j,k}
[/mm]
[mm] \mu [/mm] * B = [mm] \mu [/mm] * [mm] \summe_{h=1}^{l} \summe_{i=1}^{m} b_{l,m}
[/mm]
Hoffe auf verständliche Antwort (da ich als Ersti weniger als Laie bin)
danke schön
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:59 Fr 28.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich nehme an, dass es sich hier um die adjungierte Matrix
[mm] $A^{\star}:=\overline{A}^T$
[/mm]
handelt, und nicht etwa um die Adjunkte, wie es deine Formel nahelegt.
Dann funktionieren die Beweise in der Art, dass man beide Matrizen komponentenweise vergleicht.
Ich mache es mal für das Beispiel [mm] $(\lambda [/mm] A + [mm] \mu B)^{\star} [/mm] = [mm] \overline{\lambda} A^{\star} [/mm] + [mm] \overline{\mu} B^{\star}$ [/mm] vor:
[mm] $(\lambda [/mm] A + [mm] \mu B)^{\star}_{i,j}$
[/mm]
$= [mm] \overline{\lambda a_{ji} + \mu b_{ji}}$
[/mm]
$= [mm] \overline{\lambda} \cdot \overline{a_{ji}} [/mm] + [mm] \overline{\mu} \cdot \overline{b_{ji}} [/mm] = [mm] \overline{\lambda} A^{\star}_{ij} [/mm] + [mm] \overline{\mu} B^{\star}_{ij}$.
[/mm]
Die anderen Beweise funktionieren ähnlich einfach...
Liebe Grüße
Stefan
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