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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:54 Fr 17.01.2014 | | Autor: | kRAITOS |
| Aufgabe | Lösen Sie folgendes Gleichungssystem mit der Cramerschen Regel:
[mm] (2-\wurzel{2}i)x_1 [/mm] + [mm] 3x_2 [/mm] = 2i
[mm] -ix_1 [/mm] + [mm] (2+\wurzel{2}i)x_2 [/mm] = -5 |
Also mit reellen Zahlen ist das wirklich leicht, nur mit den komplexen Zahlen...
Ich habe zuerst die Determinante berechnet von
A= [mm] \pmat{ (2-\wurzel{2}i) & 3 \\ -i & (2+\wurzel{2}i) }
[/mm]
= [mm] (2-\wurzel{2}i)*(2+\wurzel{2}i) [/mm] - (3* -i)
= 2*2 + [mm] 2*\wurzel{2}i [/mm] - [mm] \wurzel{2}i*2 [/mm] - [mm] \wurzel{2}i*\wurzel{2}i [/mm] - (3* -i)
= 4 - 0 - [mm] (2*i^2) [/mm] - (3* -i)
= 4 - (-2) - 3i
= 6 - 3i
Nun muss ich ja [mm] x_1 [/mm] = [mm] \bruch{det(A_1)}{det(A)} [/mm] berechnen mit Hilfe von [mm] A_1 [/mm] = [mm] \pmat{ 2i & 3 \\ -5 & (2+\wurzel{2}i) }
[/mm]
und [mm] x_2 [/mm] = [mm] \bruch{det(A_2)}{det(A)} [/mm] berechnen mit Hilfe von [mm] A_2 [/mm] = [mm] \pmat{ (2-\wurzel{2}i) & 2i \\ -i & -5 }
[/mm]
[mm] det(A_1) [/mm] = 2i*(2+ [mm] \wurzel{2}i) [/mm] - (-5*3)
=4i + [mm] 2*\wurzel{2}i^2 [/mm] + 15
=15 - [mm] \wurzel{2} [/mm] + 4i
[mm] det(A_2) [/mm] = -5*2 + [mm] (-5*\wurzel{2}i) [/mm] - (-i*2i)
= -10 - [mm] 5*\wurzel{2}i [/mm] - [mm] (-2i^2)
[/mm]
= -10 [mm] -5*\wurzel{2}i [/mm] -(2)
= -12 - [mm] 5*\wurzel{2}i
[/mm]
Nun ist [mm] x_1 [/mm] = [mm] \bruch{15 - \wurzel{2} + 4i}{6 - 3i}
[/mm]
und [mm] x_2 [/mm] = [mm] \bruch{-12 - 5*\wurzel{2}i}{6 - 3i}
[/mm]
Meine Frage: Wie berechne ich die Werte für [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2?
[/mm]
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Hallo kRAITOS,
ich habs nicht nachgerechnet, aber Du kommst doch bis hier:
> Nun ist [mm]x_1[/mm] = [mm]\bruch{15 - \wurzel{2} + 4i}{6 - 3i}[/mm]
>
> und [mm]x_2[/mm] = [mm]\bruch{-12 - 5*\wurzel{2}i}{6 - 3i}[/mm]
>
> Meine Frage: Wie berechne ich die Werte für [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2?[/mm]
Damit bist Du fast fertig. Es fehlt nur noch ein bisschen komplexe Zahlengymnastik. Erweitere beide Brüche mit [mm] \tfrac{2+i}{2+i}, [/mm] damit der Nenner reell wird (15), dann bist Du fertig.
Warum $2+i$? Ich habe erstmal eine 3 ausgeklammert, $6-3i=3*(2-i)$ und dann nur die Klammer konjugiert.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Fr 17.01.2014 | | Autor: | kRAITOS |
> Hallo kRAITOS,
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> ich habs nicht nachgerechnet, aber Du kommst doch bis
> hier:
>
> > Nun ist [mm]x_1[/mm] = [mm]\bruch{15 - \wurzel{2} + 4i}{6 - 3i}[/mm]
> >
> > und [mm]x_2[/mm] = [mm]\bruch{-12 - 5*\wurzel{2}i}{6 - 3i}[/mm]
> >
> > Meine Frage: Wie berechne ich die Werte für [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2?[/mm]
>
> Damit bist Du fast fertig. Es fehlt nur noch ein bisschen
> komplexe Zahlengymnastik. Erweitere beide Brüche mit
> [mm]\tfrac{2+i}{2+i},[/mm] damit der Nenner reell wird (15), dann
> bist Du fertig.
>
> Warum [mm]2+i[/mm]? Ich habe erstmal eine 3 ausgeklammert,
> [mm]6-3i=3*(2-i)[/mm] und dann nur die Klammer konjugiert.
>
> Grüße
> reverend
Wären [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] dann richtig?
[mm] x_1 [/mm] = [mm] \bruch{15 - \wurzel{2} + 4i}{6 - 3i}*\bruch{2+i}{2+i}
[/mm]
= [mm] \bruch{30-2*\wurzel{2} + 8i +15i - \wurzel{2}i + 4i^2}{3*(2-i)*(2+i)}
[/mm]
= [mm] \bruch{30 - 2*\wurzel{2} + 32i - \wurzel{2}i -4}{3*(4-(-1)}
[/mm]
= [mm] \bruch{26 - 2*\wurzel{2} + 23i - \wurzel{2}i}{15}
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = [mm] \bruch{-12 - 5*\wurzel{2}i}{6 - 3i}*\bruch{2+i}{2+i}
[/mm]
= [mm] \bruch{-24 -10 -2*\wurzel{2}i -12i -5i -\wurzel{2}i^2}{15}
[/mm]
= [mm] \bruch{-34 + \wurzel{2} -17i -2*\wurzel{2}i}{15}
[/mm]
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Hallo kRAITOS,
> > Hallo kRAITOS,
> >
> > ich habs nicht nachgerechnet, aber Du kommst doch bis
> > hier:
> >
> > > Nun ist [mm]x_1[/mm] = [mm]\bruch{15 - \wurzel{2} + 4i}{6 - 3i}[/mm]
> >
> >
> > > und [mm]x_2[/mm] = [mm]\bruch{-12 - 5*\wurzel{2}i}{6 - 3i}[/mm]
> > >
> > > Meine Frage: Wie berechne ich die Werte für [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2?[/mm]
> >
> > Damit bist Du fast fertig. Es fehlt nur noch ein bisschen
> > komplexe Zahlengymnastik. Erweitere beide Brüche mit
> > [mm]\tfrac{2+i}{2+i},[/mm] damit der Nenner reell wird (15), dann
> > bist Du fertig.
> >
> > Warum [mm]2+i[/mm]? Ich habe erstmal eine 3 ausgeklammert,
> > [mm]6-3i=3*(2-i)[/mm] und dann nur die Klammer konjugiert.
> >
> > Grüße
> > reverend
>
> Wären [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] dann richtig?
>
>
> [mm]x_1[/mm] = [mm]\bruch{15 - \wurzel{2} + 4i}{6 - 3i}*\bruch{2+i}{2+i}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{30-2*\wurzel{2} + 8i +15i - \wurzel{2}i + 4i^2}{3*(2-i)*(2+i)}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{30 - 2*\wurzel{2} + 32i - \wurzel{2}i -4}{3*(4-(-1)}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{26 - 2*\wurzel{2} + 23i - \wurzel{2}i}{15}[/mm]
>
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>
> [mm]x_2[/mm] = [mm]\bruch{-12 - 5*\wurzel{2}i}{6 - 3i}*\bruch{2+i}{2+i}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{-24 -10 -2*\wurzel{2}i -12i -5i -\wurzel{2}i^2}{15}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{-34 + \wurzel{2} -17i -2*\wurzel{2}i}{15}[/mm]
Nein.
Der Zähler stimmt nicht.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 Sa 18.01.2014 | | Autor: | kRAITOS |
Sind beide falsch? Komplexe Zahlen sind mir wirklich nicht geheuer. Auf jeden Fall schonmal vielen Dank für die Hilfe. :)
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Hallo kRAITOS,
> Sind beide falsch? Komplexe Zahlen sind mir wirklich nicht
> geheuer. Auf jeden Fall schonmal vielen Dank für die
> Hilfe. :)
Ausgehend von Deinem Ausgangspost, haben sich bei
- det(A) ein Vorzeichenfehler,
- det([mm]A_{1}[/mm]) ein Schreibfehler,
- det([mm]A_{2}[/mm]) ebenfalls ein Vorzeichenfehler
eingeschlichen.
Gruss
MathePowrer
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