Komplex differenzierbar < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:44 Di 05.05.2015 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | In welchen Punkten z [mm] \in \IC [/mm] ist f komplex diffbar?
f: [mm] \IC [/mm] --> [mm] \IC, f(z)=|z|^2sin(1/|z|^2), [/mm] wenn z ungleich 0 und f(z)=0, wenn z=0 |
Hallo,
ich habe versucht das ganze mit den Cauchy-Riemann-DGLn zu lösen und erhalte folgende Gleichungen:
[mm] 2x(sin(\bruch{1}{x^2+y^2})-cos(\bruch{1}{x^2+y^2})(\bruch{1}{x^2+y^2}))=0
[/mm]
und
[mm] 2y(sin(\bruch{1}{x^2+y^2})-cos(\bruch{1}{x^2+y^2})(\bruch{1}{x^2+y^2}))=0
[/mm]
d.h. in(0,0) wäre f schon mal komplex diffbar (weil ja f(0)=0 definiert ist). Aber der Prof meinte, es gäbe noch weitere Punkte, wie finde ich die?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:56 Di 05.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> In welchen Punkten z [mm]\in \IC[/mm] ist f komplex diffbar?
> f: [mm]\IC[/mm] --> [mm]\IC, f(z)=|z|^2sin(1/|z|^2),[/mm] wenn z ungleich 0
> und f(z)=0, wenn z=0
> Hallo,
>
> ich habe versucht das ganze mit den Cauchy-Riemann-DGLn zu
> lösen und erhalte folgende Gleichungen:
>
> [mm]2x(sin(\bruch{1}{x^2+y^2})-cos(\bruch{1}{x^2+y^2})(\bruch{1}{x^2+y^2}))=0[/mm]
>
> und
>
> [mm]2y(sin(\bruch{1}{x^2+y^2})-cos(\bruch{1}{x^2+y^2})(\bruch{1}{x^2+y^2}))=0[/mm]
Sei u der Realteil von f. Dann sind Deine patriellen Ableitungen [mm] u_x [/mm] und [mm] u_y [/mm] falsch !
FRED
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> d.h. in(0,0) wäre f schon mal komplex diffbar (weil ja
> f(0)=0 definiert ist). Aber der Prof meinte, es gäbe noch
> weitere Punkte, wie finde ich die?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:03 Di 05.05.2015 | | Autor: | rollroll |
Ich muss doch [mm] (x^2+y^2)sin(1/(x^2+y^2) [/mm] ableiten, das ist ja der Realteil, der Imaginärteil ist ja 0.
Also [mm] f_x(x,y)= 2xsin(1/(x^2+y^2))+(x^2+y^2)cos(1/(x^2+y^2))(-2x/(x^2+y^2)^2)
[/mm]
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Hiho,
ich sehe auch nicht, wo fred einen Fehler vermutet. Da es aber gut sein kann, lasse ich die Frage mal halb beantwortet.
Andere Lösungen findest du jedoch relativ einfach:
$ [mm] 2x(sin(\bruch{1}{x^2+y^2})-cos(\bruch{1}{x^2+y^2})(\bruch{1}{x^2+y^2}))=0 [/mm] $
Nun hast du x=0 ja bereits erkannt, sei also [mm] $x\not=0, h=\bruch{1}{x^2+y^2}$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] sin(h)-hcos(h)=0 [mm] \gdw [/mm] tan(h)=h$
Also alle h>0 die obige Gleichung lösen, erfüllen auch deine CRDGL.
Und das sind einige....
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 Di 05.05.2015 | | Autor: | rollroll |
Ok, danke!
kannst du mir noch einen Tipp geben, wie ich diese Gleichung lösen kann? Solche Fixpunkte habe ich nich nie bestimmt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:59 Di 05.05.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
h kann nicht explizit bestimmt werden, nur mit Newton z.B. Wenn du f(x)= tan(x) und g(x)=x plottest, siehst du dass es immer kurz vor [mm] (2n+1)*\pi/2 [/mm] eine Nullstelle gibt, mit wachsendem x immer näher an [mm] (2n+1)*\pi/2 [/mm]
für die Aufgabe reicht wahrscheinlich die Aussage tan(h)=h
Gruß ledum
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Di 05.05.2015 | | Autor: | rollroll |
Kann man die Lösung tan (h)=h auch für z angeben, also f(z) ist komplex differenzierbar für alle ....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:54 Di 05.05.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
da [mm] h=1(|z|^2 [/mm] ist hättest du das ja auch sehen können!
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Di 05.05.2015 | | Autor: | rollroll |
Die Frage ist ja in welchen Punkten z f(z) komplex diffbar ist. Kann man dann sagen für alle [mm] 1/|z|^2? [/mm] Es wäre ja besser zu sagen für alle z=...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:53 Di 05.05.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
sicher nicht für alle [mm] 1/|z|^2 [/mm] sondern fur alle Z mit [mm] |z|^2=....
[/mm]
versuche genauer zu formulieren.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Di 05.05.2015 | | Autor: | rollroll |
Für alle z mit [mm] |z|^2=1/tan [/mm] (z)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:31 Mi 06.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Für alle z mit [mm]|z|^2=1/tan[/mm] (z)?
Nein, sondern für z mit
[mm] \tan(|z|^{-2})=|z|^{-2}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 Di 05.05.2015 | | Autor: | rollroll |
Fred, könntest du mir bitte sagen, was an den Rechnungen falsch war?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 Di 05.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Fred, könntest du mir bitte sagen, was an den Rechnungen
> falsch war?
Nichts, es war mein Fehler. Ich hatte eine Klammer übersehen.
FRED
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