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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:21 So 23.08.2009 | | Autor: | Dinker |
Guten Nachmittag
Kann mir jemand folgende Aussage erklären?
"Der Kosinus eines Winkel ist gleich dem Sinus des Komplementwinkels und der Sinus eines Winkels ist gleich dem Kosinus des Komplementwinkels."
Was heisst genau Komplementwinkel?
Danke
Gruss Dinker
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Hallo Dinker,
> Guten Nachmittag
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> Kann mir jemand folgende Aussage erklären?
>
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> "Der Kosinus eines Winkel ist gleich dem Sinus des
> Komplementwinkels und der Sinus eines Winkels ist gleich
> dem Kosinus des Komplementwinkels."
>
> Was heisst genau Komplementwinkel?
[mm] $\alpha,\beta$ [/mm] heißen Komplementwinkel oder Komplementärwinkel, wenn sie sich zu $90°$ ergänzen, wenn also [mm] $\alpha+\beta=90°$ [/mm] ist.
Nun sind die Sinus- und Kosinuskurve ja um [mm] $\frac{\pi}{2}$ [/mm] bzw. $90°$ verschoben, es gilt also für Komplementärwinkel:
1) [mm] $\cos(\alpha)=\sin(90^{\circ}-\alpha)=\sin(\beta)$ [/mm] und
2) [mm] $\sin(\alpha)=\cos(90^{\circ}-\alpha)=\cos(\beta)$
[/mm]
>
> Danke
> Gruss Dinker
LG
schachuzipus
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> Nun sind die Sinus- und Kosinuskurve ja um [mm]\frac{\pi}{2}[/mm]
> bzw. [mm]90°[/mm] verschoben, es gilt also für
> Komplementärwinkel:
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> 1) [mm]\cos(\alpha)=\sin(90^{\circ}-\alpha)=\sin(\beta)[/mm] und
>
> 2) [mm]\sin(\alpha)=\cos(90^{\circ}-\alpha)=\cos(\beta)[/mm]
Hallo,
diese Gleichungen entsprechen nicht einer Verschiebung,
sondern einer Spiegelung des einen Graphen an der
Geraden [mm] \alpha=45° [/mm] . Die Gleichung für die Verschiebung
würde z.B. besagen:
[mm] sin(\alpha)=cos(\alpha-90^{\circ})
[/mm]
Da die Cosinusfunktion gerade ist (in diesem Begriff
steckt natürlich wieder eine Spiegelung drin !), kann
man daraus aber sofort die gewünschte Gleichung
erhalten:
[mm] sin(\alpha)=\underbrace{cos(\alpha-90^{\circ})=cos(-(\alpha-90^{\circ}))}_{\red{weil\ \cos\ gerade}}=cos(90^{\circ}-\alpha)
[/mm]
Für einen spitzen Winkel [mm] \alpha [/mm] kann man sich die
Gleichung auch klar machen, indem man beachtet,
dass im rechtwinkligen Dreieck ABC mit dem rechten
Winkel [mm] \gamma [/mm] gilt: [mm] \beta=90^{\circ}-\alpha
[/mm]
Betrachtet man die Winkelfunktionswerte von [mm] \beta
[/mm]
statt von [mm] \alpha, [/mm] so vertauschen sich die Rollen von
Ankathete und Gegenkathete.
LG Al-Chw.
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