Kompexe Nullstellen bestimmen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Nullstellen des Polynoms
p(t) = [mm] 4t^{4}-20t^{3}+73t^{2}-138t+90 [/mm] in R und C.
Bekannt ist, dass bei x=1.5 der Graph die x-Achse berührt. |
Hallo zusammen
In R die Nullstellen bestimmen ist kein Problem.
Berührung --> Doppelte Nullstelle (x-1.5).
[mm] 4t^{4}-20t^{3}+73t^{2}-138t+90 [/mm] : [mm] (x-1.5)^{2} [/mm] = [mm] 4x^{2}-8t+40
[/mm]
so, [mm] 4x^{2}-8t+40 [/mm] ist in R nicht mehr weiter zerlgegbar.
Wie kriege ich jetzt die beiden Komplexen Nullstellen dazu?
Es müsste doch gelten: (x-(a+jb)*(x-(a-jb) = [mm] 4x^{2}-8t+40
[/mm]
wie kann ich jetzt a und b bestimmen?
lg Tobi
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Hallo,
die Nullstellen von [mm] 0=4x^2-8x+40 [/mm] kannst Du in diesem Fall mit der pq-Formel ausrechnen. Teile zunächst durch 4, damit Du die Formel anwenden kannst. Mit [mm] 0=x^2-2x+10 [/mm] bekommst du p=-2 und q=10 und dann:
[mm] x=1\pm\wurzel{1-10}=1\pm\wurzel{-9}=1\pm 3*\wurzel{-1}=1\pm3*i
[/mm]
(Da der Radikand der Wurzel negativ ist, gibt es keine reellen Nullstellen.)
Die komplexen Nullstellen sind [mm] x_1=1+3i [/mm] und [mm] x_2=1-3i.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:22 Fr 04.07.2008 | | Autor: | Gonozal_IX |
Das geht zwar um auf die komplexen Nullstellen zu kommen, aber als Lösungsweg wenn mans genau nimmt falsch. Die Wurzelgesetze gelten nämlich in [mm] \IC [/mm] nicht.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:27 So 06.07.2008 | | Autor: | hhashavti |
Lieber Gono,
das ist vollkommener Blödsinn.
JDH
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:15 So 06.07.2008 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> das ist vollkommener Blödsinn.
Nein ist es nicht, im Komplexen gilt die Gleichung
[mm]\sqrt{a*b} = \sqrt{a}*\sqrt{b}[/mm] leider nicht.
Bei Bedarf auch gerne ein Beweis dazu, allerdings kann man Kommentare auch freundlicher schreiben 
MfG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:14 Mo 07.07.2008 | | Autor: | hhashavti |
OK, ich entschuldige mich für meinen unpassenden Ton... Wie lautet denn der Beweis?
Gruß und nochmals sorry
hhashavti
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:01 Mo 07.07.2008 | | Autor: | Gonozal_IX |
Wenn die Wurzelgesetze in [mm] \IC [/mm] gelten würen, zeigt man leicht:
[mm]-1 = i^2 = i*i = \sqrt{-1}*\sqrt{-1} = \sqrt{(-1)*(-1)} = \sqrt{1} = 1[/mm]
Man "bezahlt" sozusagen das Gewinnen von neuen Eigenschaften mit dem Verlieren einiger alten.
MfG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:56 Mo 07.07.2008 | | Autor: | hhashavti |
Verstehe, und nochmals Entschuldigung für meinen barschen Umgangston.
Allerdings ist es doch nach wie vor so, dass, wenn die Zahl x die Gleichung [mm] x^2=n [/mm] erfüllt und die Zahl y die Gleichung [mm] y^2=m [/mm] erfüllt, die Zahl x*y auch die Gleichung [mm] (x*y)^2=n*m [/mm] erfüllt, oder?
Liebe Grüße
hhashavti
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:51 Mo 07.07.2008 | | Autor: | Gonozal_IX |
Aufgrund der Kommutativität und Assoziativität der komplexen Multiplikation geht das bei ganzzahligen Exponenten problemfrei. Aber nur deswegen 
MfG,
Gono.
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fein soweit sogut.
wieso kann ich die 4 einfach rauskürzen? muss die nicht wieder einfliessen?
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Hallo little_doc,
> fein soweit sogut.
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> wieso kann ich die 4 einfach rauskürzen? muss die nicht
> wieder einfliessen?
Nein, wie oben gesagt, klammere die 4 aus, dann bekommst du
[mm] $4\cdot{}(x^2-2x+10)=0$
[/mm]
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn (mindestens) einer der Faktoren =0 ist.
4 ist offensichtlich [mm] \neq [/mm] 0, bleiben die anderen beiden oben herausgefundenen komplexen NSTen des 2.Faktors [mm] $x^2-2x+10$
[/mm]
LG
schachuzipus
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:39 Fr 04.07.2008 | | Autor: | little_doc |
aja, alles klar
vielen Dank
gruess Tobi
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