Kompaktheit zeigen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Di 08.05.2007 | | Autor: | Fuffi |
| Aufgabe | | Sei [mm] (x_{n}) [/mm] eine konvergente Folge im metrischen Raum X mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n} [/mm] = x [mm] \in [/mm] X. Man zeige, dass die Menge [mm] \{ x_{1}, x_{2}, ... \} \cup \{ x \} [/mm] kompakt ist. |
Also unser aktueller Zettel lief ganz gut aber bei der Aufgabe sind wir uns sehr unsicher wie wir das zeigen sollen, wir brauchen jedoch die Punkte da wir schon den nächsten Zettel aus zeitlichen Gründen nicht abgeben können.
Es wäre nett wenn mir jemand mal einen kleinen Tip geben könnte, wie ich die Aufgabe am besten Anfangen kann.
MfG
Fuffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:51 Di 08.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Fuffi!
> Sei [mm](x_{n})[/mm] eine konvergente Folge im metrischen Raum X mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}[/mm] = x [mm]\in[/mm] X. Man zeige,
> dass die Menge [mm]\{ x_{1}, x_{2}, ... \} \cup \{ x \}[/mm]
> kompakt ist.
> Also unser aktueller Zettel lief ganz gut aber bei der
> Aufgabe sind wir uns sehr unsicher wie wir das zeigen
> sollen, wir brauchen jedoch die Punkte da wir schon den
> nächsten Zettel aus zeitlichen Gründen nicht abgeben
> können.
>
> Es wäre nett wenn mir jemand mal einen kleinen Tip geben
> könnte, wie ich die Aufgabe am besten Anfangen kann.
Benutzt hier die Definition von kompakt: Nehmt euch also eine Familie [mm] $U_i$, [/mm] $i [mm] \in [/mm] I$ von offenen Mengen mit [mm] $\{ x_1, x_2, \dots \} \cup \{ x \} \subseteq \bigcup_{i\in I} U_i$. [/mm] Ihr muesst dann zeigen, dass es eine endliche Menge $J [mm] \subseteq [/mm] I$ gibt mit [mm] $\{ x_1, x_2, \dots \} \cup \{ x \} \subseteq \bigcup_{i\in J} U_i$.
[/mm]
Dazu nehmt euch doch erstmal ein $i [mm] \in [/mm] I$ mit $x [mm] \in U_i$. [/mm] Koennt ihr etwas ueber die Anzahl der Folgenglieder sagen, die nicht in [mm] $U_i$ [/mm] liegen?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Di 08.05.2007 | | Autor: | Fuffi |
Hallo Felix,
ich hatte vergessen zu sagen, dass wir kompakt bis jetzt nur als folgenkompakt definiert haben:
Ein metrischer Raum X heißt folgenkompakt, wenn jede Folge in X eine in X konvergente Teilfolge besitzt.
Dein Antwort bezieht sich glaube ich auf "allgemeine" Kompaktheit, die wir so noch nicht hatten und ich sie denke ich auch nicht anwenden darf.
MfG
Fuffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 Di 08.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Fuffi
> Hallo Felix,
> ich hatte vergessen zu sagen, dass wir kompakt bis jetzt
> nur als folgenkompakt definiert haben:
> Ein metrischer Raum X heißt folgenkompakt, wenn jede Folge
> in X eine in X konvergente Teilfolge besitzt.
>
> Dein Antwort bezieht sich glaube ich auf "allgemeine"
> Kompaktheit, die wir so noch nicht hatten und ich sie denke
> ich auch nicht anwenden darf.
Dann musst du anders vorgehen:
Sei [mm] $(y_n)_{n\in\N}$ [/mm] irgendeine Folge mit [mm] $y_n \in \{ x_1, x_2, \dots \} \cup \{ x \}$. [/mm] Wenn die Menge [mm] $\{ y_n \mid n \in \N \}$ [/mm] endlich ist, dann gibt es mindestens ein Element in der Folge, welches unendlich oft angenommen wird. Dies liefert dir dann eine konstante Teilfolge, die natuerlich konvergent ist.
Andernfalls kannst du dir induktiv eine streng monoton steigende Funktion $a : [mm] \IN \to \IN$ [/mm] konstruieren so, dass es zu jedem $n [mm] \in \IN$ [/mm] ein [mm] $b_n \in \IN$ [/mm] gibt mit [mm] $y_{a(n)} [/mm] = [mm] x_{b_n}$ [/mm] und [mm] $b_n \ge [/mm] n$. Damit konvergiert [mm] $(y_{a(n)})_{n\in\IN}$ [/mm] dann gegen $x$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:47 Di 08.05.2007 | | Autor: | Fuffi |
So in die Richtung ging auch meine Vermutung. Danke für deine schnelle Hilfe!
Fuffi
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