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| Aufgabe | 1.
Begründen Sie, dass der Kreisring [mm] K=\{x \in \IR^2| 1\le |x| \le 2\} [/mm] kompakt ist.
2.
Sei f: [mm] \IR^n \to \IR^p [/mm] eine stetige Funktion mit der Eigenschaft, dass [mm] \overline{f^{-1}(K)} \subset \IR^n [/mm] für jede kompakte Teilmenge K von [mm] \IR^p [/mm] kompakt ist. Beweisen Sie, dass f(A) für jede abgeschlossene Menge A [mm] \subseteq \IR^n [/mm] eine abgeschlossene Teilmenge des [mm] \IR^p [/mm] ist. |
Hallo, ich habe ein kleines Problem, bei dem Verständnis der Lösungen dieser beiden Aufgaben. Vielleicht kann ja wer für Klarheit sorgen.
Lösungen:
1.
Die Abgeschlossene Kugel [mm] B_2=\{x \in \IR^2||x| \le 2\} [/mm] ist kompakt und damit ist auch [mm] K=B_2 [/mm] \ [mm] B_1 [/mm] kompakt, wobei [mm] B_1 [/mm] die offene Einheitskugel im [mm] \IR^2 [/mm] bezeichnet.
So das wars schon, und das versteh ich trotzdem nicht so. Wir haben ja ein [mm] K=\{x \in \IR^2| 1\le |x| \le 2\}, [/mm] so jetzt nehmen die [mm] 1\le [/mm] |x| heraus, und nennen die Menge die abgeschlossene Kugel. So, dann versteh ich aber diesen Schritt hier auch nicht: [mm] K=B_2 [/mm] \ [mm] B_1 [/mm] kompakt. Ist [mm] K=B_2 [/mm] \ [mm] B_1=B_2?? [/mm] Weil dann fehlt doch [mm] 1\le [/mm] |x|, wenn [mm] B_1=1\le [/mm] |x| ist???
2.
Sei A [mm] \subseteq \IR^n [/mm] abgeschlossen. Wir zeigen, dass für jede Folge [mm] (a_k) \subset [/mm] A mit [mm] f(a_k) \to [/mm] b für k [mm] \to \infty [/mm] und ein b [mm] \IR^p [/mm] gilt, dass b [mm] \in [/mm] f(A) ist.
Die Menge [mm] K=\{f(a_k) | K \in \IN \} \cup \{b\}\subset \IR^p [/mm] ist kompakt. Folglich ist auch die Menge [mm] \overline{f^{-1}(K)} \subset \IR^n [/mm] kompakt. Aus [mm] a_k \in f^{-1}(K) [/mm] für alle k folgt, dass es eine Teilfolge [mm] \{k_l\} [/mm] von [mm] \{k\} [/mm] mit [mm] a_{k_l} \to [/mm] a für l [mm] \to \infty [/mm] und einem a [mm] \in [/mm] A gibt. Die Stetigkeit von f impliziert schließlich [mm] f(a)=\limes_{l\rightarrow\infty}f(a_{k_l})=b [/mm] insbesondere ist b [mm] \in [/mm] f(A).
So bei dieser Aufgabe habe ich noch größere Verständnisprobleme:
1) Zuerst, wieso wollen die zeigen, dass b [mm] \in [/mm] f(A)? Das A ist doch aus [mm] \IR^n [/mm] , gezeigt werden soll aber, dass f(A) für jede abgeschlossene Menge A [mm] \subseteq \IR^n [/mm] eine abgeschlossene Teilmenge des [mm] \IR^p [/mm] ist.
2. Ist mein f(A) jetzt Teilmenge von [mm] \IR^n [/mm] oder [mm] \IR^p?
[/mm]
3. Und dann später wird es da mit den Grenzwerten auch zu viel. Warum ist bei der Teilfolge der Grenzwert in A aber bei Ursprungsfolge der Grenzwert b [mm] \in \IR^p?
[/mm]
4. Wieso gilt zum Schluss auch f(a)=b??
Wäre echt super, wenn mir jemand diese Dinge erklären könnte.
Gruß
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> 1.
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> Begründen Sie, dass der Kreisring [mm]K=\{x \in \IR^2| 1\le |x| \le 2\}[/mm]
> kompakt ist.
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> 2.
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> Sei f: [mm]\IR^n \to \IR^p[/mm] eine stetige Funktion mit der
> Eigenschaft, dass [mm]\overline{f^{-1}(K)} \subset \IR^n[/mm] für
> jede kompakte Teilmenge K von [mm]\IR^p[/mm] kompakt ist. Beweisen
> Sie, dass f(A) für jede abgeschlossene Menge A [mm]\subseteq \IR^n[/mm]
> eine abgeschlossene Teilmenge des [mm]\IR^p[/mm] ist.
> Hallo, ich habe ein kleines Problem, bei dem Verständnis
> der Lösungen dieser beiden Aufgaben. Vielleicht kann ja wer
> für Klarheit sorgen.
>
> Lösungen:
>
> 1.
>
> Die Abgeschlossene Kugel [mm]B_2=\{x \in \IR^2||x| \le 2\}[/mm] ist
> kompakt und damit ist auch [mm]K=B_2[/mm] \ [mm]B_1[/mm] kompakt, wobei [mm]B_1[/mm]
> die offene Einheitskugel im [mm]\IR^2[/mm] bezeichnet.
>
> So das wars schon, und das versteh ich trotzdem nicht so.
> Wir haben ja ein [mm]K=\{x \in \IR^2| 1\le |x| \le 2\},[/mm] so
> jetzt nehmen die [mm]1\le[/mm] |x| heraus, und nennen die Menge die
> abgeschlossene Kugel. So, dann versteh ich aber diesen
> Schritt hier auch nicht: [mm]K=B_2[/mm] \ [mm]B_1[/mm] kompakt. Ist [mm]K=B_2[/mm] \
> [mm]B_1=B_2??[/mm] Weil dann fehlt doch [mm]1\le[/mm] |x|, wenn [mm]B_1=1\le[/mm] |x|
> ist???
Du hast sicher recht Dich zu beklagen, dass ja [mm] $B_2\backslash B_1$ [/mm] nicht kompakt sei. An Deiner Stelle würde ich einfach so schliessen: der Kreisring [mm] $\{x \in \IR^2| 1\le |x| \le 2\}$ [/mm] ist beschränkt (Schranke $=2$) und abgeschlossen in [mm] $\IR^2$, [/mm] also kompakt.
Nachtrag (3. Revision): Ich sehe gerade, dass ich zu flüchtig gelesen habe. Bei Dir scheint [mm] $B_2$ [/mm] die abgeschlossene, [mm] $B_1$ [/mm] aber die offene Kugel zu sein. In diesem Falle wäre in der Tat [mm] $B_2\backslash B_1$ [/mm] kompakt, denn es ist [mm] $B_2\backslash B_1=B_2\,\cap\, (\IR^p\backslash B_1)\subset B_2$, [/mm] also eine abgeschlossene Teilmenge von [mm] $B_2$ [/mm] (Durchschnitt zweier abgeschlossener Mengen) und daher kompakt.
Aber natürlich ist es ganz unsinnig, [mm] $B_2$ [/mm] als abgeschlossene, [mm] $B_1$ [/mm] aber als offene Kugel zu definieren.
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> 2.
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> Sei A [mm]\subseteq \IR^n[/mm] abgeschlossen. Wir zeigen, dass für
> jede Folge [mm](a_k) \subset[/mm] A mit [mm]f(a_k) \to[/mm] b für k [mm]\to \infty[/mm]
> und ein b [mm]\IR^p[/mm] gilt, dass b [mm]\in[/mm] f(A) ist.
> Die Menge [mm]K=\{f(a_k) | K \in \IN \} \cup \{b\}\subset \IR^p[/mm]
> ist kompakt. Folglich ist auch die Menge
> [mm]\overline{f^{-1}(K)} \subset \IR^n[/mm] kompakt. Aus [mm]a_k \in f^{-1}(K)[/mm]
> für alle k folgt, dass es eine Teilfolge [mm]\{k_l\}[/mm] von [mm]\{k\}[/mm]
> mit [mm]a_{k_l} \to[/mm] a für l [mm]\to \infty[/mm] und einem a [mm]\in[/mm] A gibt.
> Die Stetigkeit von f impliziert schließlich
> [mm]f(a)=\limes_{l\rightarrow\infty}f(a_{k_l})=b[/mm] insbesondere
> ist b [mm]\in[/mm] f(A).
>
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> So bei dieser Aufgabe habe ich noch größere
> Verständnisprobleme:
> 1) Zuerst, wieso wollen die zeigen, dass b [mm]\in[/mm] f(A)? Das A
> ist doch aus [mm]\IR^n[/mm] , gezeigt werden soll aber, dass f(A)
> für jede abgeschlossene Menge A [mm]\subseteq \IR^n[/mm] eine
> abgeschlossene Teilmenge des [mm]\IR^p[/mm] ist.
Wir wollen die Abgeschlossenheit von [mm] $f(A)\subseteq \IR^p$ [/mm] für abgeschlossenes [mm] $A\subseteq \IR^n$ [/mm] zeigen: Jedes [mm] $b\in \overline{f(A)}$ [/mm] muss sich als Grenzwert einer konvergenten Folge [mm] $f(a_k)$ [/mm] von Elementen von $f(A)$ darstellen lassen (dabei sind die [mm] $a_k\in A\subseteq \IR^n$): [/mm] sei also [mm] $b=\lim_{k\rightarrow\infty} f(a_k)$. [/mm] Nun haben wir zu zeigen, dass sogar [mm] $b\in [/mm] f(A)$ gilt. Gelingt uns dies, so haben wir gezeigt, dass [mm] $\overline{f(A)}=f(A)$, [/mm] also $f(A)$ abgeschlossen ist.
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> 2. Ist mein f(A) jetzt Teilmenge von [mm]\IR^n[/mm] oder [mm]\IR^p?[/mm]
$f(A)$ ist eine Teilmenge von [mm] $\IR^p$, [/mm] denn $f$ ist ja [mm] $\IR^n\rightarrow \IR^p$.
[/mm]
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> 3. Und dann später wird es da mit den Grenzwerten auch zu
> viel. Warum ist bei der Teilfolge der Grenzwert in A aber
> bei Ursprungsfolge der Grenzwert b [mm]\in \IR^p?[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eines nach dem anderen. Zum Beispiel ist $K=\{f(a_k) | K \in \IN \} \cup \{b\}\subset \IR^p $ kompakt, weil diese Menge beschränkt ist (die $f(a_k)$ konvergieren ja gegen $b$, ihre Werte bilden also nur eine beschränkte Menge) und auch abgeschlossen ist (wegen des Hinzufügens von $b$, dem einzigen Häufungspunkt der Folge der $f(a_k)$). Daraus kann, aufgrund der Voraussetzung für $f$, auf die Kompaktheit von $\overline{f^{-1}(K)}$ geschlossen werden. Wegen der Kompaktheit der abgeschlossenen Hülle des inversen Bildes von $K$ unter $f$ gibt es eine Teilfolge $a_{k_l}\in f^{-1}(K)$ der $a_k\in A$ mit $\lim_{l\rightarrow \infty} a_{k_l}=a\in \overline{A}=A$, d.h. ein $a\in A$, mit $\lim_{l\rightarrow \infty} a_{k_l}=a$.
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> 4. Wieso gilt zum Schluss auch f(a)=b??
Das steht im Beweis doch klar: dies gilt wegen der Stetigkeit von $f$. Denn es ist $a=\lim_{l\rightarrow \infty}a_{k_l{$ und daher $f(a)=f\big(\lim_{l\rightarrow\infty} a_{k_l}\big) \red{=} \lim_{l\rightarrow\infty} f(a_{k_l})=b$ (jede Teilfolge der gegen $b$ konvergenten Folge $f(a_k)$ muss ebenfalls gegen $b$ konvergieren).
Wegen $a\in A$ ist daher $f(a)=b\in f(A)$, was (für den Nachweis von $\overline{f(A)}=f(A)$) zu zeigen war.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:18 Di 22.07.2008 | | Autor: | jaruleking |
danke für die super erklärung.
gruß
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