Kompaktheit/Homöomorphismus < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei nun f: X [mm] \to [/mm] Y eine stetige, bijektive Abbildung zwischen den Hausdorffschen topologischen Räumen [mm] (X,\frak{X}) [/mm] und [mm] (Y,\frak{Y}).
[/mm]
Zeige; Ist X kompakt, dann ist f ein homöomorphismus. |
Hallo.
Da die Abbildung ja bijektiv und stetig ist, brauche ich nur noch die Stetigkeit der Umkehrabbildung für den Homöomorphismus.
Nach Definition müsste dann gelten: [mm] f^{-1} [/mm] stetig [mm] \gdw U\in\frak{X} \Rightarrow f(U)\in\frak{Y}
[/mm]
Das ist aber gerade dann der Fall, wenn f offen ist.
Die Kompaktheit haben wir so definiert:
[mm] (X,\frak{X}) [/mm] Hausdorffscher topologischer Raum heißt kompakt [mm] \gdw [/mm] Für alle offenen Überdeckungen [mm] \frak{U} [/mm] existiert eine endliche Überdeckung [mm] U_{1},.....,U_{k}\in\frak{U} [/mm] mit X = [mm] \bigcup_{i=1}^{k}U_{k}
[/mm]
Nun versuche ich zu verstehen warum die Kompaktheit vorausgesetzt wird.
Nach der Defintion der Stetigkeit von f gilt ja [mm] \forall W\in\frak{Y} \Rightarrow f^{-1}(W)\in\frak{X}.
[/mm]
Sehe ich das Richtig das dann die Urbilder von allen W gerade die offenen Überdeckungen von X wären?
Das war jetzt Quatsch...
Habe die selbe Aufgabe hier im Forum gefunden und ich denke ich weiß was ich zu tun habe. Ich habe alle Sätze die ich brauche, bis auf die Aussage das Bilder kompakter Mengen wieder kompakt sind. Muss jetzt zusehen wie ich das zeige.
Gruß
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Habs hingekriegt :)
Könnte mir vielleicht jemand helfen ein Beispiel zu finden wo die Aussage falsch wird, wenn X nicht als kompakt vorausgesetzt wird?
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:22 Fr 30.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Habs hingekriegt :)
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> Könnte mir vielleicht jemand helfen ein Beispiel zu finden
> wo die Aussage falsch wird, wenn X nicht als kompakt
> vorausgesetzt wird?
Wir versehen [mm] \IR [/mm] mit der Topologie, die vom Betrag erzeugt wird
X:=[0,1) [mm] \cup \{2\} [/mm] und Y:=[0,1] versehen wir mit der Spurtopologie
Für x [mm] \in [/mm] X: f(x)=x, falls x [mm] \in [/mm] [0,1) und f(2):=1
X ist nicht kompakt, Y ist kompakt, f:X [mm] \to [/mm] Y ist stetig und bijektiv.
[mm] f^{-1} [/mm] ist nicht stetig.
FRED
>
> Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:26 Fr 30.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Habs hingekriegt :)
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> Könnte mir vielleicht jemand helfen ein Beispiel zu finden
> wo die Aussage falsch wird, wenn X nicht als kompakt
> vorausgesetzt wird?
>
> Danke
Hallo helicopter,
Mir ist auch noch ein Beispiel eingefallen:
[mm] $[0;2\pi)\to S^1,\; x\mapsto e^{ix}\,.$
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Sa 01.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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