Kompaktheit, Beschränktheit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:55 So 20.07.2008 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | | Ist die Menge der reellen Zahlen beschränkt? |
Ich habe noch ein wenig Mühe mit dem Verständnis der Begriffe kompakt, beschränkt und abgeschlossen.
Ist eben zum Beispiel die Menge der reellen Zahlen beschränkt?
Sollte doch beschränkt sein, denn in einem nicht beschränkten Raum gilt doch folgendes:
Sei (X,d) ein metrischer Raum, welcher nicht beschränkt ist. Dann existiert keine konvergente Teilfolge? Stimmt das?
Gilt im [mm] \IR^{n} [/mm] folgende Implikation:
nicht Kompakt [mm] \Rightarrow [/mm] nicht beschränkt ?
Werden im allgemeinen für Kompaktheit die "eckigen" Klammern benutzt, also z.B. [0,1]. Wäre dann also (0,1) nicht Kompakt?
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> Ist die Menge der reellen Zahlen beschränkt?
Nein. Versuch doch mal eine Schranke [mm] $M\in \IR$ [/mm] anzugeben, die für alle [mm] $x\in \IR$ [/mm] die Bedingung [mm] $|x|\leq [/mm] M$ erfüllt.
> Ich habe noch ein wenig Mühe mit dem Verständnis der
> Begriffe kompakt, beschränkt und abgeschlossen.
> Ist eben zum Beispiel die Menge der reellen Zahlen
> beschränkt?
Nein, siehe oben.
> Sollte doch beschränkt sein, denn in einem nicht
> beschränkten Raum gilt doch folgendes:
> Sei (X,d) ein metrischer Raum, welcher nicht beschränkt
> ist. Dann existiert keine konvergente Teilfolge? Stimmt
> das?
Ich verstehe was Du meinst, aber diese Aussage ist nicht ganz koscher formuliert. Nun ist es so: betrachte etwa die Folge [mm] $x_n [/mm] := n$ in [mm] $\IR$. [/mm] Hat diese Folge eine (gegen ein $x [mm] \in \IR$) [/mm] konvergente Teilfolge? - Antwort: Nein.
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> Gilt im [mm]\IR^{n}[/mm] folgende Implikation:
> nicht Kompakt [mm]\Rightarrow[/mm] nicht beschränkt ?
Nein: zum Beispiel ist die offene Kugel [mm] $\{x\in \IR^n \;\mid \;\parallel x\parallel < R\}$, [/mm] für gegebenes $R>0$, beschränkt ($R$ selbst ist eine Schranke, sogar die kleinste) aber nicht kompakt. Aber die abgeschlossenen und beschränkten Mengen von [mm] $\IR^n$ [/mm] sind kompakt.
Wenn eine Teilmenge von [mm] $\IR^n$ [/mm] nicht kompakt ist, dann ist sie nicht abgeschlossen oder nicht beschränkt (oder beides).
Kurz: Die kompakten Teilmengen von [mm] $\IR^n$ [/mm] sind genau die beschränkten und abgeschlossenen Mengen.
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> Werden im allgemeinen für Kompaktheit die "eckigen"
> Klammern benutzt, also z.B. [0,1]. Wäre dann also (0,1)
> nicht Kompakt?
$[0;1]$ ist kompakt, $(0;1)$ ist nicht kompakt.
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