Kompaktheit < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | D2
Man zeige:
(1) Die Menge [mm]\IR^>0[/mm] ist keine Kompakte Menge von [mm](\IR, U_\IR[/mm]
(2) In einem metrischen Raum (M,d) mit einer kompakten Menge [mm]K \subset M[/mm] gibt es zu jedem r>0 endlich viele Bälle vom Radius r, K überdecken. |
Hallo Mathefreunde,
die (1) meine ich bereits gelöst zu haben. Damit [mm]\IR^>0[/mm] kompakt wäre, müsste diese Menge beliebig viele Teilüberdeckungen zu [mm]U_\IR[/mm] besitzen. Hier habe ich die Funktion [mm]f(x)=\bruch{1}{x} [/mm]. Es muss also gelten, dass [mm]\left\{f(x), x\in\IR\right\}\cup\left\{0\right\}[/mm].[mm]\limes_{x \to \infty}\bruch{1}{x}=0[/mm]. Da die 0 aber nicht im [mm]\IR^>0[/mm] entahlten ist, ist diese Menge auch nicht kompakt.
Zu (2) habe ich einen Ansatz. Ich weiß allerdings nicht wie ich diese Aufgabe beweisen soll. Ich habe erstmal eine Metrik mit K und dann mit M auf die entsprechenden Radien abgebildet : i) bzgl. K: [mm]\tilde d: K \times K \to \tilde r[/mm], bzgl M: [mm]d: M \times M \to r[/mm]. Dabei muss gelten [mm]r\ge\tilde r>0[/mm].
Vielen Dank schon mal im Voraus
Christoph
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:52 Mi 28.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> D2
>
> Man zeige:
>
> (1) Die Menge [mm]\IR^>0[/mm] ist keine Kompakte Menge von [mm](\IR, U_\IR[/mm]
>
> (2) In einem metrischen Raum (M,d) mit einer kompakten
> Menge [mm]K \subset M[/mm] gibt es zu jedem r>0 endlich viele Bälle
> vom Radius r, K überdecken.
> Hallo Mathefreunde,
>
> die (1) meine ich bereits gelöst zu haben.
Da bin ich anderer Meinung !
> Damit [mm]\IR^>0[/mm]
> kompakt wäre, müsste diese Menge beliebig viele
> Teilüberdeckungen zu [mm]U_\IR[/mm] besitzen.
Was soll denn das , bitteschön, bedeuten ?
> Hier habe ich die
> Funktion [mm]f(x)=\bruch{1}{x} [/mm]. Es muss also gelten, dass
> [mm]\left\{f(x), x\in\IR\right\}\cup\left\{0\right\}[/mm].[mm]\limes_{x \to \infty}\bruch{1}{x}=0[/mm].
Puh, das ist nicht nachzuvollziehen. Du multiplizierst eine Menge mit einem Grenzwert ?
> Da die 0 aber nicht im [mm]\IR^>0[/mm] entahlten ist, ist diese
> Menge auch nicht kompakt.
Jetzt kommen wir der Sache schon etwas näher. Für eine Teilmenge M von [mm] \IR [/mm] gilt doch:
(*) M ist kompakt [mm] \gdw [/mm] M ist beschränkt und abgeschlossen
Ist Dir klar, dass [mm]\IR^>0[/mm] weder beschränkt noch abgeschlossen ist ?
Falls Ihr (*) noch nicht hattet (oder nicht benutzen dürft) kannst Du es auch so machen:
für n [mm] \in \IN [/mm] def. das Intervall [mm] I_n [/mm] durch: [mm] $I_n= [/mm] (n-1,n+1)$
Dann ist [mm] (I_n)_{n \in \IN} [/mm] eine offene Überdeckung von [mm]\IR^>0[/mm] .
Nun überlege Dir, ob endlich viele der [mm] I_n [/mm] 's die Menge [mm]\IR^>0[/mm] überdecken ?
>
> Zu (2) habe ich einen Ansatz. Ich weiß allerdings nicht
> wie ich diese Aufgabe beweisen soll. Ich habe erstmal eine
> Metrik mit K und dann mit M auf die entsprechenden Radien
> abgebildet
Was hast Du gemacht ?? Verstehst Du eigentlich selbst, was Du da schreibst ?
> : i) bzgl. K: [mm]\tilde d: K \times K \to \tilde r[/mm],
> bzgl M: [mm]d: M \times M \to r[/mm]. Dabei muss gelten [mm]r\ge\tilde r>0[/mm].
................. Donnerwetter ! ... aber .. was bedeutet das nur ?
Sei r>0. Für x [mm] \in [/mm] K sei [mm] $B_x:= \{y \in M: d(y,x)
Dann ist [mm] (B_x)_{x \in K} [/mm] eine offene Überdeckung von K.
Macht es klick ?
FRED
>
> Vielen Dank schon mal im Voraus
>
> Christoph
|
|
|
|
