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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:43 Di 27.11.2012 | | Autor: | arraneo |
Hi,
Aufgabe: Sei (X,d) metrischer Raum, mit d die diskrete Metrik. Bestimmen Sie die kompakte Mengen in X.
Ich weiß, dass für alle [mm] \vorepsilon [/mm] >0 ist [mm] U_{x}={x} [/mm] , daher folgt dass jede Teilmenge in X offen ist.
Ich habe also soweit offene Teilmengen. Sei also M eine offene endliche Teilmenge von X. Sei nun [mm] (U_{i})_{i \in I} [/mm] eine offene Überdeckung von M.
Dann gibt es für jedes [mm] x_{i} [/mm] eine mindestens eine offene Menge [mm] U_{ji}, [/mm] die [mm] x_{i} [/mm] überdeckt. Diese [mm] U_{ji} [/mm] sind endlich viele, von daher können wir sie vereinigen und das wird jedes [mm] x_{i} [/mm] überdecken.
Dies sollte die endliche Teilüberdeckung sein und dadurch sollte M kompakt sein.
..auf diese ganz theoretische Ebene.
Kann mir jemanden bitte sagen, wie ich das praktisch hinschreiben könnte?
Mir ist klar, dass alle endlichen Teilmengen von X sind abgeschlossen und beschränkt, also kompakt.
Wie sollte ich diese Menge bestimmen?
Vielen Dank im voraus,
lg . arraneo.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:37 Di 27.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
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> Aufgabe: Sei (X,d) metrischer Raum, mit d die diskrete
> Metrik. Bestimmen Sie die kompakte Mengen in X.
>
> Ich weiß, dass für alle [mm]\vorepsilon[/mm] >0 ist [mm]U_{x}={x}[/mm] ,
Du meinst sicher : für [mm]\varepsilon[/mm] >0 ist [mm]U_{\varepsilon}(x)=\{x\}[/mm] ,
Das stimmt aber für [mm] \varepsilon [/mm] >1 i.a. nicht.
> daher folgt dass jede Teilmenge in X offen ist.
>
> Ich habe also soweit offene Teilmengen. Sei also M eine
> offene endliche Teilmenge von X. Sei nun [mm](U_{i})_{i \in I}[/mm]
> eine offene Überdeckung von M.
>
> Dann gibt es für jedes [mm]x_{i}[/mm] eine mindestens eine offene
> Menge [mm]U_{ji},[/mm] die [mm]x_{i}[/mm] überdeckt. Diese [mm]U_{ji}[/mm] sind
> endlich viele, von daher können wir sie vereinigen und das
> wird jedes [mm]x_{i}[/mm] überdecken.
Oh je, da geht viel durcheinander....
>
> Dies sollte die endliche Teilüberdeckung sein und dadurch
> sollte M kompakt sein.
>
> ..auf diese ganz theoretische Ebene.
>
> Kann mir jemanden bitte sagen, wie ich das praktisch
> hinschreiben könnte?
>
> Mir ist klar, dass alle endlichen Teilmengen von X sind
> abgeschlossen und beschränkt, also kompakt.
Vorsicht: die Char. abgeschlossen und beschränkt [mm] \gdw [/mm] kompakt, ist in metr. Räumen i.a. falsch.
ist X mit der diskreten Metrik versehen, so gilt für K [mm] \subseteq [/mm] X:
K ist kompakt [mm] \gdw [/mm] K ist endlich
Die Richtung [mm] \Leftarrow [/mm] dürfte klar sein.
Zu [mm] \Rightarrow:
[/mm]
es ist K= [mm] \bigcup_{x \in K}^{}\{x\}
[/mm]
Jetzt Du.
FRED
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> Wie sollte ich diese Menge bestimmen?
>
> Vielen Dank im voraus,
>
> lg . arraneo.
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