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Wie ich hier bereits in einigen vorherigen Posts von ein par hilfsbereiten Usern erfahren habe, kann man bei einer Extremwertaufgabe einen Trick anwenden, um die Hessematrix zu umgehen :
Hat man es mit einer Kompakten Menge zu tun (z.B. [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 \le [/mm] 1) so kann man einfach annehmen, dass es mit Sicherhet ein Extrema gibt, und man braucht nur die Punkte einzusetzen und schauen , welcher Funktionswert "am extremsten ist".
Nun ist es ja in der Mathematik meistens so, dass es Ausnahmen gibt, weshalb ich einwenig nervös bin (bin mitten in einer Klausurvorbereitung). Könnt Ihr mir BITTE verraten, auf was ich hierbei besonders achten soll und vor allem , ==> WIESO gilt diese Regel ?
Viele liebe Gruesse,
Euer (nervöser) KGB-Spion
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> Wie ich hier bereits in einigen vorherigen Posts von ein
> par hilfsbereiten Usern erfahren habe, kann man bei einer
> Extremwertaufgabe einen Trick anwenden, um die Hessematrix
> zu umgehen :
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> Hat man es mit einer Kompakten Menge zu tun (z.B. [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2 \le[/mm]
> 1) so kann man einfach annehmen, dass es mit Sicherhet ein
> Extrema gibt, und man braucht nur die Punkte einzusetzen
> und schauen , welcher Funktionswert "am extremsten ist".
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> Nun ist es ja in der Mathematik meistens so, dass es
> Ausnahmen gibt, weshalb ich einwenig nervös bin
Hallo,
ich werde auch nervös - weil Du "ein Extrema" sagst.
Den Zahn mit der Hessematrix muß ich Dir möglicherweise ziehen, obgleich es mir leid tut.
Es kommt auch auf die Funktion (logisch!) und die Aufgabenstellung an.
Zunächst zur Funktion: stetige Funktionen nehmen auf kompakten Mengen ihr globales Minimum und Maximum an. Wenn die zu bearbeitende Funktion nicht stetig ist, funktioniert's also nicht. Aber da mußt Du keine Angst bekommen: ich bin mir zu nahezu 100% sicher, daß Ihr eine stetige Funktion vorgesetzt bkommt.
Zur Aufgabenstellung: sehr oft lauten die Aufgaben so, daß man lokale und globale Extremwerte angeben soll, und hier kann die Hessematrix ein gutes Hilfsmittel sein.
(Was findest Du eigentlich so schlimm an der Hessematrix? Wer einmal partiell ableiten kann, kann das auch zweimal, und wenn Du Dir die Definitheitskriterien mal übersichtlich zusammenstellst, ist das so wild nicht.)
Mal angenommen, Du hättest eine Funktion und solltest sie auf der Menge von oben . ([mm]x^2[/mm] + [mm]y^2 \le[/mm] 1) auf Extremwerte untersuchen.
Folgendes ist zu tun:
1. zunächst die Untersuchung auf der offenen Menge [mm] x^2+y^2<1, [/mm] also im Inneren des Kreises.
das geschieht in gewohnter Manier mit der Bestimmung der kritischen Punkte aus dem nullgesetzten Gradienten.
Von den kritischen Punkten, die Du hier errechnest, prüfst Du dann durch Einsetzen in [mm] x^2+y^2<1, [/mm] welche tatsächlich in diesem Gebiet liegen.
Oft ist es sinnvoll, gleich die zugehörigen Funktionswerte zu bestimmen.
Auf de Art der kritischen Punkte wuürde man jetzt mit der Hessematrix losgehen - manchmal ist es sinnvoll, das noch eine Moment urückzustellen und erst den Rand zu untersuchen.
2. Untersuchung des Randes [mm] x^2+y^2=1.
[/mm]
Hier führst Du eine Untersuchung mit Lagrange durch. Da der Rand des Kreises abgeschlossen und beschränkt ist, mußt Du hier ein Minimum und ein maximum erhalten (es können mehrere sein.) Nun schaust Du, welches das größte Randmaximum und das kleinste Randminimum ist.
3. Duch Vergleich mit den in 1. berechneten Funktionswerten kannst Du die globalen Extrema auf dem Gebiet [mm] x^2+y^2=1 [/mm] angeben.
4. Je nach Lage der Dinge, kann es sein, daß Du jetzt fertig bist, weil alle kritischen Punkte absolute Hoch-oder Tiefpunkte sind. Es kann aber auch sein, daß Du die Art der Punkte im Inneren noch untersuchen mußt.
So, ich hoffe, daß ich nicht so viel vergessen habe. Man muß es tun und üben, und sich auch ein bißchen auf die Funktionen und Mengen einstellen. Mengen mit geknickten Rändern haben auch wieder ihre Besonderheiten: da muß man die Funktionswerte in den Ecken gesondert anschauen. (Aber keine Angst: Klausuraufgaben haben nie alle Spezialitäten auf einmal zu bieten. Die wollen ja auch, daß Du noch ein paar mehr Aufgaben rechnest.)
> Könnt Ihr mir BITTE
> verraten, auf was ich hierbei besonders achten soll und vor
> allem , ==> WIESO gilt diese Regel ?
Welche eigentlich? Die mit den globalen Extremwerten von stetigen Funktionen auf kompakten Mengen? Sie gilt, weil sie gilt...
Du willst doch jetzt nicht wirklich, daß ich den Beweis auf- oder abschreibe?!
Gruß v. Angela
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Vielen Dank, für die Erklärung  und NEIN, den Beweis, warum es so ist brauch ich nicht zu wissen - ich habe gedacht, es gäbe einen einfachen Weg, diese Idee zu verstehen - aber man irrt sich nur zu oft im Leben 
Also ich habe alles verstanden, nur noch eine kleinigkeit :
Nehmen wir an, ich habe 2 Punkte im Inneren des Definitionsbereichs gefunden und 2 Punkte auf dem Rand.
Nehmen wir weiterhin an, dass die Punkte alle was zu bedeuten haben (Minima, Maxima) ==> es kann ja nur ein lokales Min/Max geben (es seiden mehrere Punkte befinden sich auf gleicher Ebene). Muss man dann in der mathematischen Fachsprache extra irgendwie dazuschreiben, dass die Punkte im Inneren AUCH als "gesonderte" Extrema gelten oder ist es einfach nur von Nöten, lediglich diejenigen Punkte anzugeben, welche "am extremsten" sind ? (Bitte entschuldige mich, für meine unsachliche Schreibweise - kann aber nur bedingt was dafür --> Siehe PM)
Liebe Grüße und DANKE,
Dein KGB-Spion
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:01 Di 16.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank, für die Erklärung und NEIN, den Beweis,
> warum es so ist brauch ich nicht zu wissen - ich habe
> gedacht, es gäbe einen einfachen Weg, diese Idee zu
> verstehen - aber man irrt sich nur zu oft im Leben
>
> Also ich habe alles verstanden, nur noch eine kleinigkeit :
>
> Nehmen wir an, ich habe 2 Punkte im Inneren des
> Definitionsbereichs gefunden und 2 Punkte auf dem Rand.
> Nehmen wir weiterhin an, dass die Punkte alle was zu
> bedeuten haben (Minima, Maxima) ==> es kann ja nur ein
> lokales
globales!
> Min/Max geben (es seiden mehrere Punkte befinden
> sich auf gleicher Ebene).
Also Du meinst damit: Es sei denn, es gibt mehrere Stellen, an denen das globale Minimum oder Maximum angenommen wird. Im Prinzip ist Deine Aussage hier:
Entweder es gibt eine globale Minimalstelle, oder es gibt mehrere. Das ist selbstverständlich richtig
(Man kann das Wort "Minimalstelle" dabei auch durch "Maximalstelle" ersetzen.)
Sagen wir mal lieber: In der Klausur werden es sicher endlich viele Extremstellen sein, ich würde auch darauf tippen, dass es eine globale Maximalstelle und eine globale Minimalstelle gibt. Aber theoretisch muss das nicht sein, es kann durchaus sein, dass Du feststellst, dass die Funktion ihr (globales) Minimum an 3 Stellen und ihr (globales) Maximum an 5 Stellen annimmt (neben den anderen eventuellen lokalen Extremstellen). Und ein triviales Beispiel, wo globale Extrema an überabzählbar vielen Stellen angenommen werden, kennst Du auch: Nimm' einfach eine konstante Funktion definiert auf einer überabzählbaren Menge, meinetwegen $f(x)=3$ auf $[-2,7)$ definiert.
> Muss man dann in der
> mathematischen Fachsprache extra irgendwie dazuschreiben,
> dass die Punkte im Inneren AUCH als "gesonderte" Extrema
> gelten oder ist es einfach nur von Nöten, lediglich
> diejenigen Punkte anzugeben, welche "am extremsten" sind ?
Du kannst die Dinge schon so benennen, wie sie sind. Du hast damit ja auf jeden Fall, sofern ich mich nicht täusche, alle lokalen Extremstellen auf dem vorgegebenen Definitionsbereich der Funktion berechnet, und damit muss (mindestens) eine dieser Stellen auch globale Minimalstelle und (i.a. eine andere) Stelle auch globale Maximalstelle sein (beachte, dass globale Extrema insbesondere auch lokale Extrema sind). Vorausgesetzt natürlich, dass solche existieren (was bei stetigen Funktionen auf kompakten Mengen z.B. immer der Fall ist, wie schon erwähnt).
Also schreibe das ruhig alles genauso auf, wie Du es machst, z.B., wenn Du wieder auf [mm] $x^2+y^2 \le [/mm] 1$ eine Funktion "behandelst":
Zunächst schränken wir die Funktion auf der Menge [mm] $x^2+y^2 [/mm] < 1$ ein und berechnen die lokalen Extremstellen auf dieser Menge. Dazu verfahren wir mit...
-> Die Extremstellen befinden sich an den Stellen ... (und dahinter schreiben, ob es eine lokale Minimalstelle oder Maximalstelle ist; z.B. an der Stelle ... liegt ein lokales Minimum vor, an der Stelle ...: lokales Maximum...)
Nun berechnen wir die lokalen Extremstellen, wenn man die Funktion auf [mm] $x^2+y^2=1$ [/mm] eingeschränkt betrachtet:
Dazu schlagen wir folgende Strategie ein...
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Ingesamt erhalten wir auf der Menge [mm] $x^2+y^2 \le [/mm] 1$ damit folgende Extremstellen für die Funktion:
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Daraus erkennt man, dass sich an der/den Stellen ... die Funktion ihr globales Minumum und an der/den Stellen ... die Funktion ihr globales Maximum annimmt.
> (Bitte entschuldige mich, für meine unsachliche
> Schreibweise - kann aber nur bedingt was dafür --> Siehe
> PM)
Das ist hier eigentlich kein Problem, ich hoffe nur, dass ich Dich nirgends missverstanden habe, ansonsten musst Du halt einfach nochmal nachfragen
Gruß,
Marcel
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