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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:10 Di 20.06.2006 | | Autor: | Moe007 |
| Aufgabe | Sei G [mm] \in \IC [/mm] ein Gebiet unf [mm] (f_{n})_{n \in \IN} [/mm] eine Folge von integrierbaren stetigen Funktionen [mm] f_{n}: [/mm] G [mm] \to \IC. [/mm]
Zu zeigen ist:
a) Konvergiert [mm] (f_{n}) [/mm] kompakt gegen f: G [mm] \to \IC, [/mm] so gilt:
[mm] \alpha) [/mm] f ist integrierbar
[mm] \beta) [/mm] Für jedes n [mm] \in \IN [/mm] gibt es eine Stammfunktion [mm] F_{n}: [/mm] G [mm] \to \IC [/mm] von [mm] f_{n}, [/mm] sodass die Folge [mm] (F_{n})_{n} [/mm] kompakt gegen eine Stammfunktion F : G [mm] \to \IC [/mm] konvergiert.
b) Konvergiert die Reihe [mm] \summe_{n \in \IN}^{}f_{n} [/mm] normal, so gibt es für jedes n [mm] \in \IN [/mm] eine Stammfkt. [mm] F_{n}: [/mm] G [mm] \to \IC [/mm] von [mm] f_{n}, [/mm] sodass die Reihe [mm] \summe_{n \in \IN}^{}F_{n} [/mm] normal konvergiert. |
Hallo!
Ich habe Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe, und hoffe, es kann mir jemand erklären, was ich falsch gemacht habe oder wie man da vorgehen muss:
a) Ich soll zeigen, dass f integrierbar ist:
Wenn [mm] (f_{n}) [/mm] kompakt gegen f konvergiert, dann bedeutet das doch, dass [mm] (f_{n}) [/mm] lokal gleichmäßig gegen f konvergiert, also wenn zu jdem x [mm] \in [/mm] G eine Umgebung U existiert, sodass [mm] (f_{n}) [/mm] eingeschränkt auf U gleichmäßig gegen f eingeschränkt auf U konvergiert. Aber das nur nebenbei... Wir haben den Konvergenzsatz von Weierstraß durchgenommen, der ja besagt, dass wenn [mm] (f_{n}) [/mm] gegen f kompakt konvergiert, dann ist f holomorph und die Folge (f'_{n}) konvergiert ebenfalls kompakt gegen f'. Wie zeige ich jetzt konkret, dass integrierbar ist? Gilt dieser Satz dann auch automatisch für die entsprechenden Stammfunktionen? Dann wäre doch die Integrierbarkeit doch gezeigt oder?
Zu [mm] \beta): [/mm] Diese Teilaufgabe hat ja was mit der oberen zu tun, das ist ja genau meine Frage mit dem Integral. Der Satz von Weierstraß sagt ja nur was für die Ableitungen aus...
b) Eine Reihe heißt ja normal konvergent, wenn es zu jedem x [mm] \in [/mm] G eine Umgebung U gibt mit [mm] \summe_{n=0}^{\infty} |f|_{U} [/mm] < [mm] \infty.
[/mm]
Wie muss ich hier vorgehen? Muss ich hier einen Umgebung finden, sodass die Reihe der Stammfunktionen darauf endlich ist?
Ich hoffe, es kann mir jemand helfen.
Vielen Dank im Voraus.
Moe007
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(Frage) überfällig | | Datum: | 23:55 Fr 23.06.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
ich hab soeben versucht, die Aufgaben zu beweisen, weiß aber leider nicht, ob das so stimmt und komm an manchen Stellen auch nicht weiter.
Vielleicht kann mir ja jemand weiter helfen oder mir sagen, was nicht stimmt.
Also ich hab bei der a) folgendes gemacht:
[mm] \alpha [/mm] :Z.z. ist ja, dass f integrierbar ist.
[mm] f_{n} \to [/mm] f kompakt konvergent [mm] \gdw f_{n} [/mm] lokal gleichmäßig konvergent gegen f.
Nach dem Satz von Weierstraß ist f holomorph, d.h. doch dass f stetig ist und lokal integrabel oder?
Also für f: G [mm] \to \IC, [/mm] a [mm] \in [/mm] G, f | U integrabel, d.h. [mm] \exists [/mm] F: U [mm] \to \IC [/mm] holomorph mit F' = f | U.
Ich weiß jetzt, dass f eingeschränkt auf U integrabel ist, aber wie kann man denn daraus folgern, dass f integrierbar ist auf G? Ich weiß nicht, wie ich das machen soll.
Kann man sagen, dass jedes a [mm] \in [/mm] G eine kompakte Umgebung hat, und dass kompakte Mengen K [mm] \subset [/mm] G eine endliche Teilüberdeckung der Umgebungen hat und daraus dann folgt, dass f integrierbar ist auf ganz G ist?
[mm] \beta:
[/mm]
Ist das hier nicht genau der Konvergenzsatz von Weierstraß? Ich meine [mm] f_{n} [/mm] verhält sich zu [mm] f_{n}' [/mm] doch genauso wie [mm] F_{n} [/mm] zu [mm] f_{n}?
[/mm]
Und bei der b) hab ich folgendes gemacht:
Z.z: [mm] \summe_{n \in \IN} F_{n} [/mm] konvergiert normal.
Nach Voraussetzung ist ja [mm] \summe_{n \in \IN} f_{n} [/mm] normal konvergent, d.h. [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] G [mm] \exists [/mm] eine Umgebung U mit [mm] \summe_{n = 0}{\infty} |f_{n}|_{U} [/mm] < [mm] \infty. [/mm] Und das ist ja äquivalent zu [mm] \forall [/mm] K [mm] \subset [/mm] G kompakt: [mm] \summe_{n = 0}{\infty} |f_{n}|_{K} [/mm] < [mm] \infty. [/mm] Oder?
Es gilt doch wenn [mm] \summe_{n=0}^{\infty} f_{n} [/mm] normal konvergiert, dann auch [mm] \summe_{n=0}^{\infty} f_{n}'.
[/mm]
Also folgt doch daraus die Behauptung nach dem Differentiationssatz von Weierstraß oder?
Denn sei K [mm] \in [/mm] G kompakt, K [mm] \subset [/mm] L eine kompakte Umgebung.
Dann gibt es M > 0: [mm] |g'|_{K} \le [/mm] M [mm] |g|_{L}
[/mm]
Dann folgt: [mm] \summe_{n=0}^{\infty} |f_{n}'|_{K} [/mm] \ le [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] M [mm] |f_{n}|_{L} [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
Stimmt das so?
Ich weiß nicht, wie ich das sonst zeigen soll.
Ich hoffe, dass mir jemand weiter helfen kann bzw. mir sagt, wo ich was falsch gemacht habe. Das wär sehr nett!
Vielen Dank für eure Hilfe.
Viele Grüße, Moe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Mi 28.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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