Kompakt, Überdeckung, konv. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1)Wenn X nicht beschränkt ist, so gibt es eine Folge [mm] x_j [/mm] von Punkten in X mit [mm] |x_j [/mm] | > j, diese kann keine konvergente Teilfolge beinhalten
2)Wenn [mm] (U_\alpha)_{\alpha \in A} [/mm] eine offene Überdeckung von K ist, so gibt es [mm] \alpha_1 [/mm] ,.., [mm] \alpha_n \in [/mm] A mit K [mm] \subseteq \bigcup_{j=1}^N U_{\alpha_i }
[/mm]
-> K ist beschränkt und abgeschlossen |
Hallo,
Warum gilt die Aussage 1) ?
Zu 2)
.) K ist beschränkt , da K [mm] \subseteq \bigcup_{j\in \IN}^\infty [/mm] (-j , j)
und damit [mm] \exists j_1 [/mm] ,.., [mm] j_n [/mm] mit K [mm] \subseteq \bigcup_{j=1}^N [/mm] (-j , j)= [mm] (-max\{j_1 ,..,j_n\}, [/mm] + [mm] max\{j_1,..,j_n\} [/mm] )
Meine Frage dazu: Warum gilt: [mm] \bigcup_{j =1}^N [/mm] (-j , j)= (-max [mm] \{j_1 ,..,j_n\}, [/mm] + max [mm] \{j_1,..,j_n\} [/mm] )
.) [mm] K^C [/mm] offen
x [mm] \in K^C [/mm] so ist K [mm] \subseteq \bigcup_{j=1}^\infty [/mm] ( [x-1/j, [mm] x+1/j]^C)
[/mm]
> Wieso gilt das? oder hab ich das mit die Klammern falsch aufgeschrieben?
also (x-1/j, x+1/j) [mm] \subset K^C
[/mm]
-> also ist [mm] K^C [/mm] offen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:49 Do 04.10.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> 1)Wenn X nicht beschränkt ist, so gibt es eine Folge [mm]x_j[/mm]
> von Punkten in X mit [mm]|x_j | > j[/mm], diese kann keine
> konvergente Teilfolge beinhalten
> 2)Wenn [mm](U_\alpha)_{\alpha \in A}[/mm] eine offene Überdeckung
> von K ist, so gibt es [mm]\alpha_1,\dots,\alpha_n \in A[/mm] mit
> [mm] K \subseteq \bigcup_{j=1}^N U_{\alpha_i }[/mm]
> -> K ist
> beschränkt und abgeschlossen
> Hallo,
>
> Warum gilt die Aussage 1) ?
Wenn es eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert a gäbe, dann müssten unendliche viele Folgenelemente in einer beliebig kleinen [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] des Grenzwertes a liegen. Wähle irgendeine ganze Zahl m [mm] >|a+\varepsilon|$. [/mm] Per Definition der Folge sind alle Folgenglieder ab [mm] $x_m$ [/mm] betragsmäßig größer als m und liegen daher außerhalb dieser [mm] $\varepsilon$-Umgebung. [/mm]
>
> Zu 2)
>
> .) K ist beschränkt , da [mm]K \subseteq \bigcup_{j\in \IN}^\infty (-j , j)[/mm]
Wieso denn das? [mm] $\bigcup_{j\in \IN}^\infty [/mm] (-j , j) = [mm] \IR$, [/mm] damit ist nichts über die Beschränktheit von K ausgesagt!
Die Aussage von Teil 2 ist diese: wenn es zu einer beliebigen offenen Überdeckung [mm](U_\alpha)_{\alpha \in A}[/mm] von K möglich ist, K mit einer endlichen Anzahl [mm] $\{U_{\alpha_1},\dots,U_{\alpha_n}\} [/mm] von Mengen aus [mm](U_\alpha)_{\alpha \in A}[/mm] zu überdecken, dann ist K beschränkt und abgeschlossen. Das ist die eine Richtung der Äquivalenzaussage von Heine-Borel.
Tipp zur Beschränkheit: betrachte eine Überdeckung aus Umgebungen der Form [mm] $U_\alpha [/mm] = [mm] \{x\mid |x|<\alpha\}$ [/mm] .
Tipp zur Abgeschlossenheit: Zeige, dass jeder Häufungspunkt von K zu K gehört.
Viele Grüße
Rainer
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