Komp. Operator approximieren < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei X ein separabler Hilbertraum und T:X->X kompakt. Zu zeigen: Es gibt eine Folge [mm] (T_n) [/mm] kompakter Operatoren endlichen Ranges, die bezüglich der Operatornorm gegen T konvergiert. |
Ich würde das folgendermaßen lösen:
Sei [mm] \{e_n|n \in \mathbb{N}\} [/mm] ein maximales Orthonormalsystem in X. Definiere [mm] P_n [/mm] als die Orthogonalprojektion auf die lineare Hülle von [mm] \{e_1,...,e_n\}. [/mm] Definiere [mm] T_n:=TP_n. [/mm]
Es ist dann [mm] ||I-P_n||=sup\frac{||(I-P_n)(x)||}{||x||}=sup\frac{\sum_{j=n+1}^{\infty}||e_j||}{||\sum_{j=1}^{\infty}e_j||} [/mm] -> 0 für n [mm] \to \infty. [/mm] Also ist [mm] ||T(I-P_n)||=||T-T_n|| [/mm] -> 0.
Stimmt die Argumentation so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Sa 22.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei X ein separabler Hilbertraum und T:X->X kompakt. Zu
> zeigen: Es gibt eine Folge [mm](T_n)[/mm] kompakter Operatoren
> endlichen Ranges, die bezüglich der Operatornorm gegen T
> konvergiert.
> Ich würde das folgendermaßen lösen:
> Sei [mm]\{e_n|n \in \mathbb{N}\}[/mm] ein maximales
> Orthonormalsystem in X. Definiere [mm]P_n[/mm] als die
> Orthogonalprojektion auf die lineare Hülle von
> [mm]\{e_1,...,e_n\}.[/mm] Definiere [mm]T_n:=TP_n.[/mm]
> Es ist dann
> [mm]||I-P_n||=sup\frac{||(I-P_n)(x)||}{||x||}=sup\frac{\sum_{j=n+1}^{\infty}||e_j||}{||\sum_{j=1}^{\infty}e_j||}[/mm]
Das stimmt so nicht.
Es ist [mm] (I-P_n)x= \sum_{j=n+1}^{\infty}e_j
[/mm]
Damit: [mm] ||(I-P_n)x||^2=\sum_{j=n+1}^{\infty}||^2
[/mm]
Die Folge [mm] ((I-P_n)) [/mm] strebt also punktweise gegen den Nulloperator.
Tut sie das auch gleichmäßig ?
FRED
Damit ist
> -> 0 für n [mm]\to \infty.[/mm] Also ist [mm]||T(I-P_n)||=||T-T_n||[/mm] ->
> 0.
>
> Stimmt die Argumentation so?
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Nunja, wenn du schon so fragst, tut sie das wahrscheinlich nicht... aber wieso nicht?
Und wie sollte ich stattdessen zum Beweis vorgehen? Ich versuche mich daran schon eine Weile, aber das ist wahrscheinlich noch das beste, was mir eingefallen ist...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Sa 22.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Nunja, wenn du schon so fragst, tut sie das wahrscheinlich
> nicht... aber wieso nicht?
[mm] I-P_n [/mm] ist ein Orthogonalprojektor und damit ist [mm] ||I-P_n||=1
[/mm]
> Und wie sollte ich stattdessen zum Beweis vorgehen? Ich
> versuche mich daran schon eine Weile, aber das ist
> wahrscheinlich noch das beste, was mir eingefallen ist...
Bemühe die Spektralzerlegung kompakter Operatoren.
FRED
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Die Spektralzerlegung wurde noch nicht behandelt... gibt es eine Alternative?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:36 Mo 24.12.2012 | | Autor: | Feuerkerk |
Ich wäre weiterhin an einer Antwort interessiert.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:29 Mi 26.12.2012 | | Autor: | fred97 |
Setze
[mm] T_n(x)=\summe_{i=1}^{n}\summe_{j=1}^{n}e_j
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:53 Mi 26.12.2012 | | Autor: | Feuerkerk |
Oh... vielen Dank für den Tipp! :)
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