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| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Kommutatoruntergruppe von [mm] GL(2,\IR) [/mm] |
Ich habe ein paar Probleme bei dieser Aufgabe.
Für jede Matrix M der Kommutatoruntergruppe muss gelten:
[mm] M=ABA^{-1}B^{-1} [/mm] wobei A und B aus [mm] GL(2,\IR) [/mm] sind.
Wie muss ich jetzt weitermachen?
Mein erster Gedanke war, dass [mm] MB=ABA^{-1}, [/mm] also M ähnlich zu Matrizen aus GL sein muss, aber das ist ja sowieso schon klar.
Ich meine irgendwo gehört zu haben, dass [mm] SL(2,\IR) [/mm] die gesuchte Gruppe ist, weiß aber nicht wieso.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:46 So 15.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Bestimmen Sie die Kommutatoruntergruppe von [mm]GL(2,\IR)[/mm]
> Ich habe ein paar Probleme bei dieser Aufgabe.
>
> Für jede Matrix M der Kommutatoruntergruppe muss gelten:
> [mm]M=ABA^{-1}B^{-1}[/mm] wobei A und B aus [mm]GL(2,\IR)[/mm] sind.
>
> Wie muss ich jetzt weitermachen?
Rechne mal [mm] $\det [/mm] M$ aus. Dann siehst du, dass $M [mm] \in [/mm] SL(2, [mm] \IR)$ [/mm] ist.
> Ich meine irgendwo gehört zu haben, dass [mm]SL(2,\IR)[/mm] die
> gesuchte Gruppe ist, weiß aber nicht wieso.
Versuch doch mal zu zeigen, dass jedes Element aus $SL(2, [mm] \IR)$ [/mm] als Kommutator geschrieben werden kann. Oder zuminest ein Erzeugendensystem von $SL(2, [mm] \IR)$. [/mm] Vielleicht geht das ja?
LG Felix
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> Rechne mal [mm]\det M[/mm] aus. Dann siehst du, dass [mm]M \in SL(2, \IR)[/mm]
> ist.
>
Das hab ich gemacht, und es kommt 1 raus, weil die Determinante vom Inversen das Inverse der Determinante ist.
> Versuch doch mal zu zeigen, dass jedes Element aus [mm]SL(2, \IR)[/mm]
> als Kommutator geschrieben werden kann. Oder zuminest ein
> Erzeugendensystem von [mm]SL(2, \IR)[/mm]. Vielleicht geht das ja?
Muss ich das jetzt noch zeigen? Es scheint mir doch sehr kompliziert. Eine Basis ist z.B [mm] \pmat{ 1 & b \\ 0 & 1 }, \pmat{ 1 & 0 \\ b & 1 }
[/mm]
aber doch nur für "+" und brauche ich nicht eins für "mal"?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mo 16.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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