Kommutativität von zwei Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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FrHallo, ich habe folgends Problem:
Ich soll nachweisen, dass die Gruppen G3 und G4 kommutativ sind.
G3 = (x, y, e) G4 = (x, y, z, e). wobei e = neutrales Element. Dazu hab ich mir schon Wahrscheinlichkeitstabellen gebastelt. Jetzt hänge ich aber mit dem Anfang für die Beweisführung fest. Ich komm nur soweit, dass ich eben allgemein die Grundsätze des Kommutativbeweises hinschreibe nämlich
x * y = y * x
und das eben für die ganzen Produkte aus der Wahrscheinlichkeitstabelle durch. Aber wie führt man für Kommutativität richtig nen Beweis?
G3
_____e___x____y____
---------------------------
e____e___x____y____
---------------------------
x____x___e____k____
---------------------------
y____y___k____e____
G4
_____e____x___y_____z
--------------------------------
e____e____x____y____z
--------------------------------
x____x____e____z____l
--------------------------------
y____y____z____e____m
--------------------------------
z____z____l_____m___e
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:46 So 12.10.2008 | | Autor: | Merle23 |
Hast du irgendwelche weiteren Informationen bzgl. der Gruppen, ausser dass sie 3 bzw. 4 Elemente enthalten?
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Nein, es ist nur angegeben, dass ein neutrales Element + 2. bzw. 3. andere Elemente in der jeweiligen Gruppe sind.
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Aber eine Gruppe ist eine Kombination aus einer Menge und einer Verknüpfung, die auf dieser Menge ausgeführt wird.
Ohne diese Verknüpfung ist es nur eine Menge.
MfG Sunny
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Hallo michaelzzzzz,
> FrHallo, ich habe folgends Problem:
>
> Ich soll nachweisen, dass die Gruppen G3 und G4 kommutativ
> sind.
> G3 = (x, y, e) G4 = (x, y, z, e). wobei e = neutrales
> Element. Dazu hab ich mir schon Wahrscheinlichkeitstabellen
du meinst Gruppentafeln bzw. Verknüpfungstafeln
> gebastelt. Jetzt hänge ich aber mit dem Anfang für die
> Beweisführung fest. Ich komm nur soweit, dass ich eben
> allgemein die Grundsätze des Kommutativbeweises hinschreibe
> nämlich
> x * y = y * x
>
> und das eben für die ganzen Produkte aus der
> Wahrscheinlichkeitstabelle durch. Aber wie führt man für
> Kommutativität richtig nen Beweis?
Bei diesen beiden Gruppen kannst du das mit den Verknüpfungstafeln lösen, wenn die Tafeln symmetrisch zur Hauptdiagonale sind, dann ist die Verknüpfung kommutativ
>
>
>
>
>
> G3
>
> _____e___x____y____
> ---------------------------
> e____e___x____y____
> ---------------------------
> x____x___e____k____
> ---------------------------
> y____y___k____e____
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das ist nicht die Verknüpfungstafel deiner Gruppe mit den 3 Elementen $e,x,y$
Eine Gruppe ist doch insbesondere abgeschlossen bzgl. der Verknüpfung, dh. wenn du je zwei Elemente aus deiner Menge (Gruppe) verknüpfst, muss das Ergebnis wieder in der Menge (Gruppe) sein.
Das k ist also Mumpitz 
Außerdem darf in jeder Zeile und Spalte jedes Element nur genau einmal auftauchen.
Überlege also nochmal scharf, wie die einzige Möglichkeit für eine Verknüpfungstafel aussehen muss.
>
>
> G4
>
> _____e____x___y_____z
> --------------------------------
> e____e____x____y____z
> --------------------------------
> x____x____e____z____l
> --------------------------------
> y____y____z____e____m
> --------------------------------
> z____z____l_____m___e
Hier dasselbe Problem: in der Tafel dürfen nur die Einträge $e,x,y,z$ auftauchen, in jeder Zeile und Spalte wieder genau einmal.
Im Gegensatz zu der Gruppe mit 3 Elementen gibt es hier nicht nur eine einzige Möglichkeit, eine Tafel aufzustellen ...
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
LG
schachuzipus
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> G3
>
> _____e___x____y____
> ---------------------------
> e____e___x____y____
> ---------------------------
> x____x___e____e____
> ---------------------------
> y____y___e____e____
x * x = e
y * y = e
daraus folgt:
y * x = e
x * y = e
ist dem so?
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Hallo nochmal,
> > G3
> >
> > _____e___x____y____
> > ---------------------------
> > e____e___x____y____
> > ---------------------------
> > x____x___e____e____
> > ---------------------------
> > y____y___e____e____
Das passt doch wieder nicht, du hast zB e in der letzten Zeile 2mal vorkommen, das darf nicht sein.
>
> x * x = e
> y * y = e
Wenn du's so verknüpfst, klappt's nicht, versuche
[mm] $x\circ [/mm] x=y$ und [mm] $y\circ [/mm] y=x$
Wenn du das erste von links mir [mm] $\red{x}$ [/mm] verknüpfst, hast du
[mm] $\red{x}\circ(x\circ x)=\red{x}\circ [/mm] y$, also wegen der Assoziativität auch [mm] $\underbrace{(x\circ x)}_{=y}\circ x=x\circ [/mm] y$
Folglich [mm] $y\circ x=x\circ [/mm] y$
> daraus folgt:
> y * x = e
> x * y = e
>
> ist dem so?
LG
schachuzipus
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Hallo, vielen vielen Dank für den Beitrag. Ich denke nun, ich könnte das Problem im Kern getroffen haben. Folgende Lösung:
x * x = y
y * y = x
x * y = y * x
___|e|___|x|___|y|
___|_|___|_|___|_|
x__|x|___|y|___|e|
y__|y|___|e|___|x|
e__|e|___|x|___|y|
___|_|___|_|___|_|
___|e|___|x|___|y|__|z|
___|_|___|_|___|_|__| |
x__|x|___|y|___|z|__|e|
y__|y|___|z|___|e|__|x|
z__|z|___|e|___|x|__|y|
e__|e|___|x|___|y|__|z|
___|_|___|_|___|_|__|_|
z * y = y * z = x
z * x = e
y * y = e
z * z = y
y * x = x * y = z
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Nochmal vielen Dank für den Hinweis. Besonders die Sache mit der besseren Schreibweise war ein wirklich guter Tipp!
x * x = y
y * y = x
x * y = y * x =e
___|e|___|x|___|y|
___|_|___|_|___|_|
e__|e|___|x|___|y|
x__|x|___|y|___|e|
y__|y|___|e|___|x|
___|_|___|_|___|_|
___|e|___|x|___|y|
___|_|___|_|___|_|
e__|e|___|x|___|y|
x__|x|___|e|___|x|
y__|y|___|x|___|e|
___|_|___|_|___|_|
x * x = e
y * y = e
e * e = e
y * x = x * y = x
___|e|___|x|___|y|__|z|
___|_|___|_|___|_|__| |
e__|e|___|x|___|y|__|z|
x__|x|___|y|___|z|__|e|
y__|y|___|z|___|e|__|x|
z__|z|___|e|___|x|__|y|
___|_|___|_|___|_|__|_|
z * y = y * z = x
z * x = e
y * y = e
z * z = y
y * x = x * y = z
___|e|___|x|___|y|__|z|
___|_|___|_|___|_|__| |
e__|e|___|x|___|y|__|z|
x__|x|___|e|___|z|__|y|
y__|y|___|z|___|e|__|x|
z__|z|___|y|___|x|__|e|
___|_|___|_|___|_|__|_|
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___|e|___|x|___|y|
___|_|___|_|___|_|
e__|e|___|x|___|y|
x__|x|___|y|___|e|
y__|y|___|e|___|x|
___|_|___|_|___|_|
___|e|___|x|___|y|__|z|
___|_|___|_|___|_|__| |
e__|e|___|x|___|y|__|z|
x__|x|___|y|___|z|__|e|
y__|y|___|z|___|e|__|x|
z__|z|___|e|___|x|__|y|
___|_|___|_|___|_|__|_|
___|e|___|x|___|y|__|z|
___|_|___|_|___|_|__| |
e__|e|___|x|___|y|__|z|
x__|x|___|e|___|z|__|y|
y__|y|___|z|___|e|__|x|
z__|z|___|y|___|x|__|e|
___|_|___|_|___|_|__|_|
___|e|___|x|___|y|__|z|
___|_|___|_|___|_|__| |
e__|e|___|x|___|y|__|z|
x__|x|___|z|___|e|__|y|
y__|y|___|e|___|z|__|x|
z__|z|___|y|___|x|__|e|
___|_|___|_|___|_|__|_|
___|e|___|x|___|y|__|z|
___|_|___|_|___|_|__| |
e__|e|___|x|___|y|__|z|
x__|x|___|e|___|z|__|y|
y__|y|___|z|___|x|__|e|
z__|z|___|y|___|e|__|x|
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Mi 15.10.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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