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Hallo zusammen !
Hoffe, daß ich hier wieder einmal ein bisschen Hilfe finde, bei einem Problem, bei dem ich absolut nicht weiterkomme.
Sei (K, +, *) ein kommutativer Körper.
Definiere für x,y [mm] \in [/mm] K, y [mm] \not= [/mm] 0, (x/y) := y^-1 * x. Zeigen Sie:
a) Jede Gleichung ax + b = c, wobei a, b, c [mm] \in [/mm] K, a [mm] \not= [/mm] 0, besitzt eine eindeutige Lösung in K.
b) Es gilt für a, b, c, d [mm] \in [/mm] K, b,d [mm] \not= [/mm] 0:
(a/b) + (c/d) = (ad + bc) / bd und (a/b) * (c/d) = ac/bd.
Also an sich ist mir das schon klar, aber leider weiß absolut nicht, wie ich das zu zeigen habe ?! Wäre nett, wenn mir hier jemand ein bisschen unterstützen könnte ... !
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo zusammen !
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> Hoffe, daß ich hier wieder einmal ein bisschen Hilfe finde,
> bei einem Problem, bei dem ich absolut nicht weiterkomme.
Hallo,
Dein kommutativer Körper K mit diesem (x/y) := y^-1 * x erinnert ja verflixt an [mm] \IQ.
[/mm]
Natürlich muß man alles ganz allgemein zeigen, aber daß man sich so ganz im Geheimen, tief innen drin, von seinen Erfahrungen mit [mm] \IQ [/mm] leiten läßt, wird einem niemand verübeln, sofern man es nicht an die große Glocke hängt.
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> Sei (K, +, *) ein kommutativer Körper.
> Definiere für x,y [mm]\in[/mm] K, y [mm]\not=[/mm] 0, (x/y) := y^-1 * x.
> Zeigen Sie:
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> a) Jede Gleichung ax + b = c, wobei a, b, c [mm]\in[/mm] K, a [mm]\not=[/mm]
> 0, besitzt eine eindeutige Lösung in K.
Hier ist zweierlei zu zeigen:
i) es gibt eine Lösung
ii) Die Lösung ist eindeutig
Fangen wir mit ii) an:
Sei x eine Lösung von ax+b=c.
[Nun immer fein die Körpereigenschaften anwenden]
==> c+(-b)=(ax+b)+(-b)=ax+(b+(-b))=ax+0=ax
==> ... ... ==> x=...
Was weiß man nun? WENN es eine Lösung gibt, sieht sie haargenau so aus. D.h. die Eindeutigkeit ist gezeigt.
i) Zur Existenz setze das Ding unten in ax+b ein und rechne vor, daß c herauskommt. Weise vorher darauf hin, daß das, was Du einsetzt [mm] \in [/mm] K ist.
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> b) Es gilt für a, b, c, d [mm]\in[/mm] K, b,d [mm]\not=[/mm] 0:
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> (a/b) + (c/d) = (ad + bc) / bd und (a/b) * (c/d) =
> ac/bd.
Laß Dich hier vom Bruchrechnen anregen.
(a/b) + [mm] (c/d)=b^{-1}a+d^{-1}c=b^{-1}1a+d^{-1}1c=b^{-1}(d^{-1}d)a+d^{-1}(b^{-1}b)c=...
[/mm]
Jeden Schritt, ausklammern, vertauschen, Klammern versetzten, alles,alles, alles, mußt Du begründen.
Das ist das, was man hier lernen soll, denn die Aussage als solche ist Dir ja seit Kl.6 klar.
Gruß v. Angela
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