Komisches Grundintegral < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:07 Sa 17.07.2004 | | Autor: | Max80 |
Ich habe diese Frage auch in folgenden fremden Foren gestellt:
[http://www.mathe-profis.de/forum/thread.php?threadid=754&sid=]
Ich hab hier so eine Liste mit Grundintegralen.
Allerdings ist eins dabei, das ich nicht verstehe..
erstmal das integral:
(vor dem Bruch muss noch das lange S hin... )
1
--- dx = ln |x| +c
x
ich verstehe nicht, was
das ganze mit logarithmus zu tun hat, und warum da Betragsstriche
beim x sind..
habs schon in dem anderen forum versucht, aber dort waren schon über 30 views, aber noch keine antwort :(
danke für eure hilfe
cya
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 Sa 17.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Bunti,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich habe diese Frage auch in folgenden fremden Foren
> gestellt:
>
> [http://www.mathe-profis.de/forum/thread.php?threadid=754&sid=]
Danke!
> Ich hab hier so eine Liste mit Grundintegralen.
> Allerdings ist eins dabei, das ich nicht verstehe..
>
> erstmal das integral:
> (vor dem Bruch muss noch das lange S hin... )
>
> 1
> --- dx = ln |x| +c
> x
>
> ich verstehe nicht, was
> das ganze mit logarithmus zu tun hat,
Das liegt ganz einfach daran, weil [mm] $\ln(x)$ [/mm] für positive x eine Stammfunktion zu [mm] $\bruch{1}{x}$ [/mm] ist, es also gilt: [mm] $(\ln(x))'=\bruch{1}{x}$.
[/mm]
Die Ableitung von [mm] $\ln(x)$ [/mm] kannst du z.B. ganz einfach mit Hilfe der Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion finden:
[mm] $\left( f^{-1}(x)\right)' [/mm] = [mm] \bruch{1}{f'\left(f^{-1}(x)\right)}$
[/mm]
[mm] ($\ln(x)$ [/mm] ist ja die Umkehrfunktion zu [mm] $\exp(x)=e^x$)
[/mm]
> und warum da
> Betragsstriche
> beim x sind..
Für negative x ist [mm] $\ln(-x)$ [/mm] eine Stammfunktion zu [mm] $\bruch{1}{x}$, [/mm] das wird dann mit dem der obigen Stanmmfunktion zusammengefasst zu
[mm] f(x)=\bruch{1}{x}
[/mm]
[mm] F(x)=\ln|x|+C
[/mm]
> habs schon in dem anderen forum versucht, aber dort waren
> schon über 30 views, aber noch keine antwort :(
Ich weiß nicht, wie es die Leute bei mathe-profis.de sehen, aber sie wären vielleicht dankbar zu erfahren, dass deine Frage hier bereits beantwortet wurde.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:14 Sa 17.07.2004 | | Autor: | Max80 |
achsooo. also für mich war des Integral wohl nicht ausührlich genug ;)
Danke für die Antwort!!! :)
Gruß
-Bunti
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:19 Sa 17.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Bunti,
> achsooo. also für mich war des Integral wohl nicht
> ausührlich genug ;)
Was meinst du? ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]")
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:23 Sa 17.07.2004 | | Autor: | Max80 |
Naja ich finde bei meiner Forumelsammlung hätte man ruhig ein Wörtchen über die zusammenhänge mit der Ableitung von ln (x) verlieren können.. :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:35 Sa 17.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Bunti!
> Naja ich finde bei meiner Forumelsammlung hätte man ruhig
> ein Wörtchen über die zusammenhänge mit der Ableitung von
> ln (x) verlieren können.. :)
Ah so, das meintest du.
Eine Formelsammlung enthält ja generell wenige Erläuterungen dazu, wie man auf die "Formeln" kommt, von daher ist eine Formelsammlung auch der falsche Ort, danach zu suchen 
In ihr steht aber wahrscheinlich auch der Hauptsatz der Integral- und Differenzialrechnung: Für eine Stammfunktion F(x) von f(x) gilt: $F'(x)=f(x)$.
Damit lassen sich alle Stammfunktionen recht schnell darauf überprüfen, ob sie tatsächlich eine Stammfunktion sind.
Hier noch eine alternative Darstellungsweise der Ableitungsberechnung von [mm] $\ln(x)$:
[/mm]
Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion:
[mm] $\left( f^{-1}(x)\right)' [/mm] = [mm] \bruch{1}{f'\left(f^{-1}(x)\right)}$
[/mm]
Mit [mm] f(x)=\exp(x), [/mm] $f'(x)=f(x)$ ergibt sich unmittelbar:
[mm] $\left( f^{-1}(x)\right)'$
[/mm]
$= [mm] \bruch{1}{f'\left(f^{-1}(x)\right)}$
[/mm]
$= [mm] \bruch{1}{f\left(f^{-1}(x)\right)}$ [/mm] (wegen $f'(x)=f(x)$ habe ich f'(x) durch f(x) ersetzt)
$= [mm] \bruch{1}{x}$ [/mm] (da [mm] $f^{-1}(f(x))=x$, [/mm] das ist ja gerade die Eigenschaft einer Umkehrfunktion)
Schreibt man für [mm] $f^{-1}(x)$ [/mm] nun [mm] $\ln(x)$, [/mm] haben wir:
[mm] $(\ln(x))'=\bruch{1}{x}$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:20 Sa 17.07.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Bunti.
Auf die Ableitung von ln(x) kommst du, wie Marc schon sagte, über die Umkehrfunktion. Ich will es noch ein wenig ausführlicher aufschreiben:
[mm]ln(x)=y[/mm]
[mm]\gdw x=e^y[/mm]
Die Ableitung von [mm]ln(x)[/mm] ist dann [mm]\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}[/mm]
Und eben diesen Differenzenquotienten [mm]\frac{dx}{dy}[/mm]
kannst du mit der Ableitung nach y von [mm]x=e^y[/mm] erhalten,
was wieder [mm]e^y[/mm] ergibt.
Daher gilt:
[mm](ln(x))'=\frac{1}{e^y}[/mm]
Jetzt schau nach oben zu [mm]\gdw x=e^y[/mm] und du siehst, dass wir [mm]e^y[/mm] auch durch x ersetzen können und die Ableitung ist hergeleitet.
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:27 Sa 17.07.2004 | | Autor: | Max80 |
Danke für die Antwort!!
Also von selbst wäre ich da nicht drauf gekommen.
Zumal ich mit Umkehrfunktion bis jetzt noch gar nich so viel am Hut hatte.
thx!
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