Kombinatorik Major Depression < Kombinatorik < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:59 Mi 01.12.2010 | | Autor: | hbaumeis |
Hallo,
meine Kombinatorik-Schulzeit ist schon etwas her, daher hier die Nachfrage. Ich wüsste gern wieviele mögliche Symptomkonstellationen die psychische Störung "Major Depression" aufweist.
Gegeben sein müssen 5 oder mehr (also 5,6,7,8 oder 9) aus 9 Symptomen, wovon mindestens ein Symptom entweder Symptom 1 oder 2 sein muss.
Vielen Dank für die Hilfe,
hbaumeis
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:13 Mi 01.12.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo hbaumeis,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> meine Kombinatorik-Schulzeit ist schon etwas her, daher
> hier die Nachfrage. Ich wüsste gern wieviele mögliche
> Symptomkonstellationen die psychische Störung "Major
> Depression" aufweist.
> Gegeben sein müssen 5 oder mehr (also 5,6,7,8 oder 9) aus
> 9 Symptomen, wovon mindestens ein Symptom entweder Symptom
> 1 oder 2 sein muss.
Das Wort "entweder" überlese ich mal, da es sich mit "mindestens" widerspricht. M.a.W. halte ich es auch für "günstig", wenn Symptom 1 und 2 gegeben sind, bitte gib Bescheid, falls das falsch interpretiert ist.
Ich würde die Anzahl folgendermaßen bestimmen:
Es geht ja hier darum, alle Teilmengen $A$ von [mm] $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ [/mm] zu finden mit
(i) [mm] $1\in [/mm] A$ oder [mm] $2\in [/mm] A$
(ii) [mm] $|A|\ge [/mm] 5$
Dazu bestimme ich zunächst die Anzahl der Teilmengen, die nur Bedingung (ii) erfüllen; die Anzahl der Teilmengen mit genau $k$ Elementen, gebildet aus einer Obermenge von $n$ Elementen, berechnet sich ja mit dem Binomialkoeffizienten [mm] ${n\choose k\}$, [/mm] also gibt es
[mm] ${9\choose 5}+{9\choose 6}+{9\choose 7}+{9\choose 8}+{9\choose 9}$
[/mm]
Teilmengen von [mm] $\{1,\ldots,9\}$ [/mm] mit mindestens 5 Elementen.
Diese Anzahl kann man direkt ausrechnen oder sich überlegen, dass die Gesamtanzahl aller Teilmengen einer 9-elementigen Menge ja [mm] $2^9$ [/mm] beträgt und es wegen der Symmetrie der Binomialkoeffzienten genauso viele Teilmengen mit mindestens 5 Elementen wie Teilmengen mit höchstens 4 Elementen geben muss, die gesuchte Zahl also die Hälfte von [mm] $2^9$, [/mm] also [mm] $2^8=256$ [/mm] betragen muss.
Bei diesen mindestens 5 elementigen Teilmengen von [mm] $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ [/mm] wurden aber auch solche gezählt, die weder 1 noch 2 enthalten, die m.a.W. nur aus [mm] $\{3,4,5,6,7,8,9\}$ [/mm] bestehen. Durch Wiederholung der obigen Überlegung für die Obermenge [mm] $\{3,4,5,6,7,8,9\}$ [/mm] statt [mm] $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ [/mm] sieht man, dass dies
[mm] ${7\choose 5}+{7\choose 6}+{7\choose 7}+{7\choose 8}+{7\choose 9}=29$
[/mm]
Stück sind (wobei die letzten beiden Binomialkoeffizienten 0 sind, da es keine 8 bzw. 9 elementigen Teilmengen einer 7 elementigen Obermenge gibt).
Die gefragte Gesamtanzahl ist also
256-29=227
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:32 Mi 01.12.2010 | | Autor: | hbaumeis |
Vielen Dank insbesondere auch für die nachvollziehbare Erklärung!
> Hallo hbaumeis,
>
>
>
> > meine Kombinatorik-Schulzeit ist schon etwas her, daher
> > hier die Nachfrage. Ich wüsste gern wieviele mögliche
> > Symptomkonstellationen die psychische Störung "Major
> > Depression" aufweist.
> > Gegeben sein müssen 5 oder mehr (also 5,6,7,8 oder 9) aus
> > 9 Symptomen, wovon mindestens ein Symptom entweder Symptom
> > 1 oder 2 sein muss.
>
> Das Wort "entweder" überlese ich mal, da es sich mit
> "mindestens" widerspricht. M.a.W. halte ich es auch für
> "günstig", wenn Symptom 1 und 2 gegeben sind, bitte gib
> Bescheid, falls das falsch interpretiert ist.
>
> Ich würde die Anzahl folgendermaßen bestimmen:
>
> Es geht ja hier darum, alle Teilmengen [mm]A[/mm] von
> [mm]\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}[/mm] zu finden mit
> (i) [mm]1\in A[/mm] oder [mm]2\in A[/mm]
> (ii) [mm]|A|\ge 5[/mm]
>
> Dazu bestimme ich zunächst die Anzahl der Teilmengen, die
> nur Bedingung (ii) erfüllen; die Anzahl der Teilmengen mit
> genau [mm]k[/mm] Elementen, gebildet aus einer Obermenge von [mm]n[/mm]
> Elementen, berechnet sich ja mit dem Binomialkoeffizienten
> [mm]{n\choose k\}[/mm], also gibt es
> [mm]{9\choose 5}+{9\choose 6}+{9\choose 7}+{9\choose 8}+{9\choose 9}[/mm]
>
> Teilmengen von [mm]\{1,\ldots,9\}[/mm] mit mindestens 5 Elementen.
> Diese Anzahl kann man direkt ausrechnen oder sich
> überlegen, dass die Gesamtanzahl aller Teilmengen einer
> 9-elementigen Menge ja [mm]2^9[/mm] beträgt und es wegen der
> Symmetrie der Binomialkoeffzienten genauso viele Teilmengen
> mit mindestens 5 Elementen wie Teilmengen mit höchstens 4
> Elementen geben muss, die gesuchte Zahl also die Hälfte
> von [mm]2^9[/mm], also [mm]2^8=256[/mm] betragen muss.
>
> Bei diesen mindestens 5 elementigen Teilmengen von
> [mm]\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}[/mm] wurden aber auch solche gezählt, die
> weder 1 noch 2 enthalten, die m.a.W. nur aus
> [mm]\{3,4,5,6,7,8,9\}[/mm] bestehen. Durch Wiederholung der obigen
> Überlegung für die Obermenge [mm]\{3,4,5,6,7,8,9\}[/mm] statt
> [mm]\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}[/mm] sieht man, dass dies
> [mm]{7\choose 5}+{7\choose 6}+{7\choose 7}+{7\choose 8}+{7\choose 9}=29[/mm]
>
> Stück sind (wobei die letzten beiden Binomialkoeffizienten
> 0 sind, da es keine 8 bzw. 9 elementigen Teilmengen einer 7
> elementigen Obermenge gibt).
>
> Die gefragte Gesamtanzahl ist also
> 256-29=227
>
> Viele Grüße,
> Marc
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