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Hallo Zusammen,
| Aufgabe | | Auf einem Schiff seien 3 blaue, 2 rote und 4 gelbe Flaggen vorhanden, wobei die gleichfarbigen Flaggen nicht unterscheidbar sind. Alle 9 Flaggen sollen in einer Reihe aufgehängt werden. Auf wieviele verschiedene Arten ist die Bildung unterscheidbarer Anordnungen der Flaggen möglich? |
Lösung:
Eine dieser Anordnungen ist z.B. B, B, B, R, R, G, G, G, G, wobei die Symbole B, R, G jeweils für blau, rot bzw. gelb stehen. Werden in einer bestimmten Anordnung jeweils nur gleichfarbige Flaggen untereinander vertauscht, so ist diese Anordnung von der ursprünglichen nicht zu unterscheiden. Daher betrachten wir folgendes Hilfsmittel: die Flaggen mit der gleichen Farbe werden durchnumeriert und somit unterscheidbar gemacht. Dadurch erhalten wir 9 verschiedene Flaggen, für die es insgesamt 9! verschiedene Permutationen gibt. Durch diese Numerierung gehe z.B. das obige Beispiel über in
[mm] $B_1, B_2, B_3, R_1, R_2, G_1, G_2, G_3, G_4$
[/mm]
Die Permutation
[mm] $B_1, B_2, B_3, R_1, R_2, G_2, G_1, G_4, G_3$
[/mm]
unterscheidet sich in unserem Hilfsmodell von der Vorigen, im Ausgangsmodell dagegen nicht. Läßt man im Hilfmittel in einer bestimmten Reihenfolge alle blauen und roten Flaggen fest, während die gelben permutiert werden, so ergeben sich dafür 4! verschiedene Permutationen. Durch Vertauschen der Roten erhält man den Faktor 2! und Permutation der blauen Flaggen liefert schließlich den Faktor 3! Damit erhält man aus jeder festen Reihenfolge aus dem Ausgangsmodell 3!*2!*4! verschiedene Permutationen im Hilfsmodell, in dem es insgesamt 9! verschiedene Anordnungen gibt.
[Bis hierhin habe ich es verstanden.]
Für die gesuchte Zahl [mm] $x\!$ [/mm] gilt somit die Gleichung
[m]x*3!*2!*4! = 9! \gdw x = \bruch{9!}{3!2!4!} = \bruch{\left(3+2+4\left)!}{3!*2!*4!} = 1260[/m]
Dieses [mm] $x\!$ [/mm] verstehe ich leider nicht. Was genau haben wir jetzt gefunden? Warum muß man hier durch 3!2!4! teilen? Ich dachte, daß gerade 3!2!4! die gesuchte Lösung ist:
Auf wieviele verschiedene Arten ist die Bildung unterscheidbarer Anordnungen der Flaggen möglich?
Um darauf zu antworten, haben wir doch gerade die Flaggen durchnummeriert und dann wie bei einem mehrregistrigen Zähler vertauscht, und zwar so, daß die Farben immer zusammenhängend vorkommen. Damit müßte 3!2!4! die Lösung sein?
Vielen Dank!
Viele Grüße
Karl
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Hi, Karl,
also: Ich versteh' diese sog. "MISSISSIPPI-Aufgaben" ehrlich gesagt besser, wenn ich sie folgendermaßen angehe:
(1) Du hast 9 Plätze zu besetzen. (9er Tupel)
(2) Du besetzt zunächst 3 davon mit je einer blauen Fahne. Da diese untereinander nicht unterscheidbar sind, gibt es dafür:
[mm] \vektor{9 \\ 3} [/mm] Möglichkeiten.
(3) Es bleiben 6 Plätze frei. Davon besetzt Du als nächstes 2 mit roten Flaggen. Dafür gibt's analog zu oben: [mm] \vektor{6 \\ 2} [/mm] Möglichkeiten.
(4) Bleiben also 4 Plätze frei und die besetzt Du mit den verbliebenen 4 gelben Wimpeln. Ergibt zwar rechnerisch: [mm] \vektor{4 \\ 4}, [/mm] aber das ist natürlich gleich 1.
(5) Und somit hat Du insgesamt: [mm] \vektor{9 \\ 3} [/mm] * [mm] \vektor{6 \\ 2} [/mm] * [mm] \vektor{4 \\ 4} [/mm] Möglichkeiten.
Wenn Du nun unbedingt auf Deine Formel hinaus möchtest, dann übersetze die Binomialkoeffizienten in die zugehörigen Brüche:
[mm] \bruch{9!}{6!*3!}* \bruch{6!}{4!*2!}* \bruch{4!}{4!*0!}
[/mm]
Wenn Du nun kürzt, erhältst Du wie gewünscht:
[mm] \bruch{9!}{4!*3!*2!} [/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:35 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Julius |
Lieber Karl!
Hier meine Sichtweise, damit du die Denkweise in derLösung verstehst.
Insgesamt gäbe es ja, wenn man alle Flaggen unterscheiden könnte, $9!$ Möglichkeiten die Flaggen anzuordnen.
Nun sind aber einige davon völlig gleich!
Warum? Nun ja, weil man eben die drei blauen, die zwei roten und die vier gelben Flaggen nicht unterscheiden kann.
Sprich: Zu jeder Anordnung gibt es [mm] $3!\cdot [/mm] 2! [mm] \cdot [/mm] 4!$ Anordnungen, die zwar formal anders sind (weil man die Flaggen gleicher Farbe untereinander vertauscht), die aber ununterscheidbar sind.
Wenn es aber insgesamt $9!$ Möglichkeiten gibt und zu jeder Möglichkeit $3! [mm] \cdot [/mm] 2! [mm] \cdot [/mm] 4!$ völlig gleichwertige (ununterscheidbare), dann gibt es
[mm] $\frac{9!}{3! \cdot 2! \cdot 4!}$
[/mm]
unterscheidbare Möglichkeiten!
Beispiel aus deinem Leben:
Deine Sockenschublade umfasst 28 Sockenpaare. Von jeder Farbe hast du 7 Sockenpaare, die du nicht auseinanderhalten kannst. Wie viele verschiedene Sorten von Sockenpaaren hast du also?
Klar: [mm] $\frac{28}{7} [/mm] = 4$.
Viele Grüße
Julius
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