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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 So 27.04.2008 | | Autor: | nirupa |
| Aufgabe | | Wie viele Kugeln muss man aus einem Beutel mit 120 Kugeln, die von 1 bis 120 nummeriert sind, ziehen, um sicher zu sein, dass man zwei Kugeln hat, deren Summe 140 ist? |
Hallo ich bin gerade in den Anfängen meines Mathevorkurses und brauche Hilfe.
Meine Überlegung ist die, dass es insgesamt 49 mögliche Kombinationen gibt, die 140 ergeben, 71+69, 72+68... 120+20
ab der 71. Kugel die ich gezogen habe kann ich sicher sein, dass ich mindestens ein Paar habe, das 140 ergibt. Stimmt das? Wenn nicht, wo ist mein Denkfehler und wenn ja, wie drückt man das mathematisch korrekt aus?
Kann mir jemand Starthile geben?
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:31 So 27.04.2008 | | Autor: | pelzig |
Also ich komme auf das gleiche Ergebnis wie du. Im Grunde geht es ja darum sich zu überlegen, wieviele Kugeln ich maximal rausnehmen kann, sodass es keine 2 Kugeln mit Summe 140 gibt.
Formal könnte man das etwa so machen: Gegeben [mm] $M_0:=\{1,...,120\}$. [/mm] Betrachte [mm] $T\subseteq M_0$ [/mm] mit:
i) [mm] $\forall x\ne y\in T_k:x+y\ne140$
[/mm]
ii) [mm] $\forall t_0\in M_0\setminus T:\exists x\ne y\in T\cup\{t_0\}:x+y=140$
[/mm]
Wir fragen uns nach der Anzahl der Elemente von T.
Wegen ii) gilt klarerweise [mm] $\{1,...,19}\subseteq [/mm] T$. Außerdem gilt für [mm] $20\le k\le [/mm] 120$: [mm] $k\in T\gdw 140-k\not\in [/mm] T$, da sonst entweder i) oder ii) nicht erfüllt wären. O.B.d.A. (...) können wir also [mm] $T=\{1,...70\}$ [/mm] annehmen, also $|T|=70.
Ich hoffe das war jetzt ein abschreckendes Beispiel, denn wer will soetwas bitte lesen? Ein guter Beweis ist so einfach wie möglich, und die verwendeteten Ideen sind klar strukturiert und erkennbar. So wie du das oben geschrieben hast war es mir sofort absolut klar und einleuchtend, also mach es nicht durch zuviele Formalismen kaputt.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:03 Do 01.05.2008 | | Autor: | nirupa |
Danke ür die Hilfe!
Deine formale Lösung hat mich nicht abgescheckt 
Ich habe mich auch daran versucht mit Hilfe der Kardinalitäten zu argumentieren. Mal sehen, was dabei rausgekommen ist.
Danke nochmals
Gruss
Nirupa
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Man kann auch so argumentieren:
Ziehe ich nur 70 Kugeln, so können dies theoretisch die Kugeln 1 - 70 sein. Keine 2 von ihnen ergeben die Summe 140.
Ziehe ich 71 Kugeln, können davon maximal 69 die Zahlen 1 - 69 tragen. Mindestens zwei haben also die Zahlen 70 oder höher, ihre Summe ist 140 oder höher.
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