Kombinatorik. Textaufgabe < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:26 Do 27.10.2011 | | Autor: | Stift |
Hallo, ich habe eine Stochastik Aufgabe mit der ich nicht klar komme. Also die Aufgabe lautet: Eine Firma möchte ihr Büro mit 12 neuen Regalen ausstatten. Zur Auswahl stehen dabei ein Bücherregal ohne Tür für 100 Euro, ein Aktenregal ohne Tür für 150 Euro, ein
Bücherregal mit Tür für 150 Euro und ein Aktenregal mit Tür für 200 Euro. Von jedem dieser Typen hat der Ausstatter noch mindestens 12 Regale vorrätig.
i) Wie viele Möglichkeiten hat die Firma, aus diesem Angebot 12 Regale zu bestellen, wenn nur berücksichtigt wird, wie viele Regale der einzelnen Typen bestellt werden?
ii) Wie viele Möglichkeiten gibt es in der Situation aus Teil a), wenn der Firma höchstens 1500 Euro zur Verfügung stehen?
Also ich glaub bei i) lautet die Antwort 12! und bei ii) habe ich keine Ahnung. Ich mein es gibt doch total viele Möglichkeiten. Wie soll man die den alle zusammen kriegen oder braucht man das gar nicht.
Gruß
|
|
| |
|
Hallo Stift,
die beiden Aufgabenteile sind recht unterschiedlich; ich gehe darum in dieser Antwort erst einmal nur auf den ersten ein:
> Eine Firma möchte ihr
> Büro mit 12 neuen Regalen ausstatten. Zur Auswahl stehen
> dabei ein Bücherregal ohne Tür für 100 Euro, ein
> Aktenregal ohne Tür für 150 Euro, ein
> Bücherregal mit Tür für 150 Euro und ein Aktenregal mit
> Tür für 200 Euro. Von jedem dieser Typen hat der
> Ausstatter noch mindestens 12 Regale vorrätig.
>
> i) Wie viele Möglichkeiten hat die Firma, aus diesem
> Angebot 12 Regale zu bestellen, wenn nur berücksichtigt
> wird, wie viele Regale der einzelnen Typen bestellt
> werden?
>
> Also ich glaub bei i) lautet die Antwort 12!
Nein. Ohne Multinomialkoeffizienten ist die Lösung nur mit Mühe zu bestimmen. Darum muss ich vorweg fragen, ob Ihr die hattet?
Es gibt vier Typen von Regalen, nennen wir sie A,B,C,D.
Unter den möglichen Lösungen sind diese: 10A+1C+1D, 12B, 4B+3C+5D, 1A+11B usw.
Die Aufgabe ist nicht damit gelöst, wenn man herausfindet, wie viele Möglichkeiten es gibt, die Zahl 12 in bis zu vier Summanden aufzuteilen. Zur Verdeutlichung: schon für die Aufteilung 6+6 gibt es sechs Möglichkeiten, für 5+7 sogar 12 Möglichkeiten, für 4+4+4 aber nur vier.
Also, wie ist es mit den ![[]](/images/popup.gif) Multinomialkoeffizienten?
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:52 Fr 28.10.2011 | | Autor: | Stift |
Hallo, leider hatten wir den Multinomialkoeffizienten nicht. Wir haben nur den Binomialkoeffizienten gehabt.
Kann man das vielleicht damit machen??
Gruß
|
|
|
| |
|
> Hallo, leider hatten wir den Multinomialkoeffizienten
> nicht. Wir haben nur den Binomialkoeffizienten gehabt.
> Kann man das vielleicht damit machen??
Hallo Stift,
dem Begriff "Multinomialkoeffizient" bin ich in vielen
Jahren kaum einmal begegnet, obwohl ich ihn offenbar
trotzdem oft benützt habe, jedoch unter anderen Ausdrucks-
weisen. Es ist also durchaus möglich, dass du das Konzept
ebenfalls schon angetroffen hast, aber halt unter einem
anderen Etikett.
Für die Aufgabe i) kann man aber, durch eine geeignete
Analogie, leicht mit einem Binomialkoeffizienten auskommen.
Machen wir am besten ein Beispiel. Eine mögliche Bestellung
könnte so aussehen:
5 Regale vom Typ A
2 Regale vom Typ B
3 Regale vom Typ C
2 Regale vom Typ D
Das könnten wir auch durch eine Buchstabenfolge notieren:
AAAAABBCCCDD
etwas anders notiert:
[mm] \bullet\bullet\bullet\bullet\bullet|\bullet\bullet|\bullet\bullet\bullet|\bullet\bullet
[/mm]
Dabei geben die Anzahlen der Punkte in jeder durch die 3
Trennstriche gebildeten Gruppe an, wie viele Regale der
Typen A,B,C,D (in dieser Reihenfolge) bestellt werden
sollen.
Jetzt haben wir in der Symbolfolge
[mm] \bullet\bullet\bullet\bullet\bullet|\bullet\bullet|\bullet\bullet\bullet|\bullet\bullet
[/mm]
insgesamt 12 Punkte [mm] (\bullet) [/mm] und 3 Trennstriche (|), oder etwas
anders gesagt: im Ganzen eine Folge von 15 Symbolen, wobei
an genau 3 Stellen ein "|" steht - und sonst überall ein [mm] "\bullet" [/mm] .
Nun kann man die gesamte Anzahl der möglichen Bestellungen
leicht durch einen einzigen Binomialkoeffizienten ausdrücken.
Die 3 Trennstriche können wirklich an jeder beliebigen Stelle der
Symbolfolge der Länge 15 stehen. Beispielsweise steht die
Symbolfolge
[mm] ||\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet|
[/mm]
für die Bestellung "12 Regale vom Typ C"
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
Hallo Stift,
die zweite Teilaufgabe passt nicht mehr so ganz in das
Muster der "elementaren" Kombinatorikaufgaben, die
man durch einfaches Einsetzen in eine Formel lösen kann.
Hier hat man es damit zu tun, die Anzahl der ganzzahligen
Lösungsquadrupel eines Ungleichungssystems in einem
vierdimensionalen Raum zu bestimmen - wenn man es
denn so ausdrücken will.
Wir haben vier Unbekannte a,b,c,d (für die Anzahlen der
4 Regaltypen A,B,C,D). Für diese ganzzahligen (!) Variablen
ergeben sich dann
die Gleichung $\ (1)\ a+b+c+d=12$
die Ungleichungen $\ (2)\ [mm] a\ge0\quad [/mm] (3)\ [mm] b\ge0\quad [/mm] (4)\ [mm] c\ge0\quad [/mm] (5)\ [mm] d\ge0$
[/mm]
sowie eine weitere Ungleichung (6), welche die Ausgaben-
limite beschreibt
Durch diese Bedingungen wird ein gewisser Teilbereich
von [mm] \IZ^4 [/mm] beschrieben, und die Aufgabe ist, die Anzahl
der Elemente darin zu berechnen. Das klingt kompliziert.
Man kann es sich aber auch einfacher machen. Durch
die Gleichung (1) kann man etwa die Unbekannte $\ d$
eliminieren. Ferner würde ich eine Hilfsvariable $\ s:=b+c$
einführen, weil die Regale der Typen B und C gleichviel
kosten.
Für die verbleibenden eigentlichen Variablen a und s hat
man dann noch 4 einfache Ungleichungen, welche man
leicht in einem a-s-Koordinatensystem zeichnerisch
darstellen kann. Ich erhalte dabei insgesamt 16 Gitter-
punkte (a,s), in welchen die Ungleichungen erfüllt sind.
Allerdings haben wir jetzt die Regale der Typen B und C
zu einer Sorte "S" zusammengefasst und müssen nun am
Ende die Aufteilung in s=b+c wieder berücksichtigen.
Einer der möglichen Gitterpunkte in der a-s-Ebene ist
etwa (a=8, s=3) . Dazu gehört natürlich einmal noch
der Wert d=12-a-s=1. Der Wert s=3 besagt, dass b+c=3
sein muss. Dies ist möglich in den Aufteilungen
3+0, 2+1, 1+2, 0+3 , insgesamt also auf 4=s+1 ver-
schiedene Arten.
Um aus den gefundenen 16 Gitterpunkten die Anzahl
der möglichen Bestell-Listen zu bekommen, muss für
jeden dieser Gitterpunkte die entsprechende Anzahl
(s+1) gerechnet werden.
Damit kommt man ohne eigentliche Anwendung von
kombinatorischen Formeln zum Ergebnis.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:02 Sa 29.10.2011 | | Autor: | Stift |
Hallo, danke für die Antworten.
Also das mit den Punkten und Strichen hatten wir auch. Müssen das eigentlich immer drei Striche sein??
Hab bei i) jetzt raus 2730.
Und bei ii) habe ich nicht verstanden was du da erklärt hast, daher habe ich jetzt versucht alle Möglichkeiten aufzuschreiben und habe insgesamt 48 Möglichkeiten raus.
Ist die Anzahl der Möglichkeiten richtig??
Gruß
|
|
|
| |
|
> Hallo, danke für die Antworten.
> Also das mit den Punkten und Strichen hatten wir auch.
> Müssen das eigentlich immer drei Striche sein??
Drei Striche müssen es hier sein, weil wir 4 Gruppen A,B,C,D
voneinander abtrennen müssen.
> Hab bei i) jetzt raus 2730. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Bei insgesamt 15 (=12+4-1) Symbolen, davon 3 (=4-1) Trennstriche,
ist doch nun die Anzahl gleich
[mm] $\pmat{15\\3}\ [/mm] =\ [mm] \frac{15\,!}{3\,!*12\,!}$
[/mm]
> Und bei ii) habe ich nicht verstanden was du da erklärt
> hast, daher habe ich jetzt versucht alle Möglichkeiten
> aufzuschreiben und habe insgesamt 48 Möglichkeiten raus.
> Ist die Anzahl der Möglichkeiten richtig??
Ich bin auf 50 gekommen.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:37 Sa 29.10.2011 | | Autor: | Stift |
Hallo,
ja hab jetzt nichmal in meine Aufzeichnungen geschaut und habe bei i) die falsche Formel genommen.
Und bei ii) werde ich mal schauen die beiden restlichen Möglichkeiten zu finden.
Nichmals vielen Dank. Du warst ech eine große Hilfe.
Gruß
|
|
|
|
