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Hallo
ich habe hier bzgl. des Binomialkoeffizienten Formeln stehen: Symmetrieeigenschaft, Additionseigenschaft und Rekursionseigenschaft. Dazu den Satz, man könne sie mit Hilfe der Formel für den Binomialkoeffizienten "nachrechnen".
Symmetrieeigenschaft leuchtet mir ein. Jetzt versuche ich die anderen nachzurechnen. Komme aber schon bei Additionseigenschaft nicht sonderlich weit. Es gälte ja zu zeigen:
[mm] \pmat{ n \\ k } [/mm] = [mm] \pmat{ n - 1 \\ k - 1 } [/mm] + [mm] \pmat{ n - 1 \\ k }
[/mm]
Ich gehe aus von
[mm] \pmat{ n - 1 \\ k - 1 } [/mm] + [mm] \pmat{ n - 1 \\ k } [/mm] = [mm] \bruch{(n-1)!}{(k - 1)!(n - k)!} [/mm] + [mm] \bruch{(n-1)!}{k!(n - k - 1)!} [/mm] = [mm] \bruch{(n - 1)!k!(n - k - 1)! + (n - 1)!(k - 1)!(n - k)}{(k - 1)!(n - k)!k!(n - k - 1)!}
[/mm]
Und jetzt weiß ich eigentlich nicht mehr weiter, wie ich jetzt kommen soll auf
[mm] \bruch{n!}{k!(n - k)!}
[/mm]
PS: Für eine Herleitung zu den Rekursionseigenschaften (bzw. eine Hilfestellung) wäre ich auch sehr dankbar :-D
Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:59 Mi 24.01.2018 | | Autor: | chrisno |
Das wird sich so auch auflösen lassen, doch rate ich zu einem einfacheren Weg.
>> Ich gehe aus von
$ [mm] \pmat{ n - 1 \\ k - 1 } [/mm] $ + $ [mm] \pmat{ n - 1 \\ k } [/mm] $ = $ [mm] \bruch{(n-1)!}{(k - 1)!(n - k)!} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{(n-1)!}{k!(n - k - 1)!} [/mm] $
Nun erweitere jeden der beiden Brüche so, dass k!(n - k)! im Nenner steht.
Hinweis dazu: k(k - 1)! = k!
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