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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:08 Di 06.02.2007 | | Autor: | Rian |
| Aufgabe | | Sei $f : V [mm] \mapsto [/mm] W$ eine lineare Abbildung endlichdimensionaler K-Vektorräume. Man zeige die Existenz einer lineare Abbildung $g : W [mm] \mapsto [/mm] V$, sodass $f = f [mm] \circ [/mm] g [mm] \circ [/mm] f$ ist. |
Hi,
komme bei der Aufgabe nicht weiter, es ist ja weder gesagt, dass f und g injektiv oder surjektiv sind. Könnte man da vielleicht irgendwas mit Ker(f) machen, weil wenn ich ein lineares Komplement U von Ker(f) nehme, dann ist dieses ja isomorph zu f(V) und zusätzlich würde gelten f(U) = f(V), weil ja der Kern alles auf Null abbildet. Kann man damit irgendwas anfangen?
Bitte um Hilfe.
Gruß
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Guten Tag,
es ist ja [mm] V\slash [/mm] kern(f) isomorph zum Unterraum f(V) von W, und der Isomorphismus heisse mal [mm] F\colon V\slash kern(f)\to [/mm] f(V), dann ist natürlich [mm] F^{-1} [/mm] ebenfalls eine lin. Abb..
Nimm eine Basis B' von [mm] V\slash [/mm] kern (f) und bilde jeden Basisvektor dieser auf ein Element seines Urbildes unter f ab, das
induziert eine injektive lineare Abb. von [mm] f\slash [/mm] kern nach V, diese heisse G, dann gilt
[mm] f\circ (G\circ F^{-1})\circ f\: [/mm] (x)
= [mm] f(G(F^{-1}(f(x))))
[/mm]
= f(x)
nach Definition der Abbildungen.
Expliziter: Sei [mm] B'=\{b_1',\ldots b_j'\} [/mm] Basis von [mm] V\slash [/mm] kern(f), [mm] B=\{b_1,\ldots , b_n\} [/mm] eine Basis von V so, dass
[mm] b_i' [/mm] die Äquivalenzklasse von [mm] b_i [/mm] unter der Kongruenz kern(f) ist, dann ist
[mm] f(b_i)=F(b_i')\:\: (1\leq i\leq [/mm] j)
und [mm] G(b_i')=b_i [/mm] definiert einen injektiven Homomorphismus von [mm] V\slash [/mm] kern (f) nach V, den Rest bekommt man durch Einsetzen.
Gruss,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:12 Mi 07.02.2007 | | Autor: | Rian |
Hi,
danke für deine Hilfe.
Was mir allerdings noch nicht ganz klar ist:
Dass [mm] $F^{-1}$ [/mm] von W nach V abbildet ist mir klar, aber wie genau stellt man sich [mm] $G:F^{-1}$ [/mm] vor und warum bildet die immer noch von W nach V ab.
Gruß
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Hallo und sorry, ich hatte da nen Schreibfehler, ich hatte ''colon'' anstatt ''circ'' geschrieben - hab's korrigiert.
Eine Teamkollegin von mir behauptet ja, es gäbe einen Vorschau-Button, und damit würde sowas nicht passieren ....
Gruss,
Mathias
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:50 Mi 07.02.2007 | | Autor: | Rian |
Hi,
nur nochmal zwei kleine Fragen, damit ich weiß, ob ichs verstanden hab.
Du schreibst, dass G eine lin. Abb. ist von $f [mm] \slash [/mm] kern$ nach $V$ ist. Ist das ein Tippfehler, weil du weiter unten schreibs von $V [mm] \slash [/mm] kern(f)$ nach $V$ oder check ich das nur nicht. Wenn ja, dann könntest du es mir bitte nochmal erklären.
Und zweitens, das mit den Basen kann man machen, weil man jedes $v [mm] \in [/mm] V$ als [mm] $\varphi(b)$ [/mm] darstellen kann?
Danke und Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mo 12.02.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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