Kollision von zwei Graden im R < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:17 Do 23.04.2009 | | Autor: | chill420 |
Hallo,
hoffe ich bin hier richtig! Ich habe ein problem, ich möchte eine Kollisionserkennung für zwei linien/Graden im Raum haben.
Ich hatte irgendwo mal gelesen, das es die möglichkeit gibt zu ermitteln ob eine Linie "links" oder "recht" von der anderen liegt...
Kann mir bei der Sache irgendjemand helfen??
Vielen Dank im Voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
> hoffe ich bin hier richtig! Ich habe ein problem, ich
> möchte eine Kollisionserkennung für zwei linien/Graden im
> Raum haben.
> Ich hatte irgendwo mal gelesen, das es die möglichkeit
> gibt zu ermitteln ob eine Linie "links" oder "recht" von
> der anderen liegt...
> Kann mir bei der Sache irgendjemand helfen??
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Vielleicht erzählst Du mal etwas genauer, worum es geht und was Du mit rechts und links meinst.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:25 Do 23.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> hoffe ich bin hier richtig! Ich habe ein problem, ich
> möchte eine Kollisionserkennung für zwei linien/Graden im
> Raum haben.
> Ich hatte irgendwo mal gelesen, das es die möglichkeit
> gibt zu ermitteln ob eine Linie "links" oder "recht" von
> der anderen liegt...
Wenn die parallel liegen, kann man das einfach machen. (Dazu brauchst du das Skalarprodukt.)
> Kann mir bei der Sache irgendjemand helfen??
Fangen wir mal mit dem Schnittpunkt an.
Du hast zwei Geraden, sagen wir mal parametrisiert gegeben durch [mm] $g_1(t) [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] + t [mm] \vec{b}$ [/mm] und [mm] $g_2(s) [/mm] = [mm] \vec{c} [/mm] + s [mm] \vec{d}$ [/mm] mit $s, t [mm] \in \IR$, [/mm] und [mm] $\vec{b}, \vcec{d}$ [/mm] nicht den Nullvektoren.
Um einen Schnittpunkt zu bestimmen setzt du sie gleich:
[mm] $g_1(t) [/mm] = [mm] g_2(s)$
[/mm]
Dann ergibt sich:
$s [mm] (-\vec{d}) [/mm] + t [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \vec{c} [/mm] - [mm] \vec{a}$
[/mm]
Dies ist ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbestimmten ($s$, $t$), also kannst du es schreiben als
[mm] $\pmat{ -\vec{d}_x & \vec{b}_x \\ -\vec{d}_y & \vec{b}_y } \vektor{ s \\ t } [/mm] = [mm] \vektor{ \vec{c}_x - \vec{a}_x \\ \vec{c}_y - \vec{a}_y }$.
[/mm]
Die vordere Matrix bezeichnen wir mal mit $A$ :)
Jetzt hast du zwei Faelle:
a) $A$ ist invertierbar, in dem Fall sind die Geraden nicht parallel und es gibt genau einen Schnittpunkt. $A$ ist genau dann invertierbar, wenn [mm] $\det [/mm] A = [mm] -\vec{d}_x \vec{b}_y [/mm] + [mm] \vec{b}_x \vec{d}_y \neq [/mm] 0$ ist. In dem Fall ist [mm] $A^{-1} [/mm] = [mm] \frac{1}{-\vec{d}_x \vec{b}_y + \vec{b}_x \vec{d}_y} \pmat{ \vec{b}_y & -\vec{b}_x \\ \vec{d}_y & -\vec{d}_x }$ [/mm] und [mm] $\vektor{s \\ t} [/mm] = [mm] A^{-1} \vektor{ \vec{c}_x - \vec{a}_x \\ \vec{c}_y - \vec{a}_y }$.
[/mm]
Daraus erhaelst du $s$ und $t$, die du wiederum in [mm] $g_1(t)$ [/mm] und [mm] $g_2(s)$ [/mm] einsetzen kannst um den Schnittpunkt zu bekommen.
b) $A$ ist nicht invertierbar, in dem Fall sind die Geraden gleihc oder parallel. (Sie sind genau dann gleich, wenn das LGS eine Loesung -- und damit unendlich viele Loesungen hat. Wenn es keine Loesung gibt, sind sie parallel). Sie ist genau dann nicht invertierbar, wenn [mm] $\det [/mm] A = [mm] -\vec{d}_x \vec{b}_y [/mm] + [mm] \vec{b}_x \vec{d}_y [/mm] = 0$ ist.
LG Felix
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